スレタイ箱入り無数目を語る部屋27(あほ二人の”アナグマの姿焼き”ｗ)

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4: １３２人目の素数さん [] 2024/11/11(月) 20:48:19.87 ID:xGTnxzX9

つづき

https://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice
Probabilities in a riddle involving axiom of choice
asked Dec 9 '13 at 16:16 Denis
（Denis質問）
I think it is ok, because the only probability measure we need is uniform probability on {0,1,…,N?1}, but other people argue it's not ok, because we would need to define a measure on sequences, and moreover axiom of choice messes everything up.
（Pruss氏）
The probabilistic reasoning depends on a conglomerability assumption, ・・・and we have no reason to think that the conglomerability assumption is appropriate.
（Huynh氏）
If it were somehow possible to put a 'uniform' measure on the space of all outcomes, then indeed one could guess correctly with arbitrarily high precision, but such a measure doesn't exist.

mathoverflowは時枝類似で
・Denis質問でも、もともと”but other people argue it's not ok, because we would need to define a measure on sequences, and moreover axiom of choice messes everything up.”
　Denisの経歴で、彼は欧州の研究所勤務で、other peopleは研究所の確率に詳しいらしい
・Pruss氏とHuynh氏とは、経歴を見ると、数学DRです。両者とも、このパズル（＝riddle）は、可測性が保証されていないと回答しています

なお ”試しに"Alex Pruss Conglomerability"で検索した結果 Alexander Pruss本人のBlogが見つかった”スレ25 414-415
https://alexanderpruss.blogspot.com/2024/09/independence-conglomerability.html
Alexander Pruss's Blog September 11, 2024
Independence conglomerability
Conglomerability says that if you have an event E and a partition {Ri : i ∈ I} of the probability space, then if P(E∣Ri) ≥ λ for all i, we likewise have P(E) ≥ λ.
Conglomerabilityとは、ある事象Eと確率空間の分割{Ri:i∈I} があるとき、
すべてのi に対してP(E∣Ri) ≥λならば、同様にP(E) ≥λ が成り立つというものである。
Example: I am going to uniformly randomly choose a positive integer (using a countably infinite fair lottery, assuming for the sake of argument such is possible). For each positive integer n, you have a game available to you: the game is one you win if n is no less than the number I am going to pick. You despair: there is no way for you to have any chance to win, because whatever positive integer n you choose, I am infinitely more likely to get a number bigger than n than a number less than or equal to n, so the chance of you winning is zero or infinitesimal regardless which game you pick.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731325608/4

16: １３２人目の素数さん [] 2024/11/11(月) 20:57:00.50 ID:xGTnxzX9

つづき

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1729769396/719 スレ26
719現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2024/11/09 ID:xFyTXC7q
>>701 補足

1）成立派が、ｎ列だから確率(n-1)/nと言いたいのは分るよ ；ｐ）
2）しかし、実際にやっている箱入り無数目の手順は
　>>701 の5）項に記載の通りで
　”（1< j とする）
　j列中でどれか1列を残し 他を開けて 決定番号の最大値dmaxを得る
　残した1列で 上記4）と同じように dmax+1以降のしっぽの箱を開けて
　同値類を特定し、dmax番目の箱の数を 同値類から確率計算をする
　sdmax＝s'dmaxである確率は？
　これは、高校レベルの確率計算で P(sdmax＝s'dmax)＝1/10
　つまり、sdmax∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}の10通り で 未開の箱の数当て確率に等しい”
　ってこと
3）結局、手順が異なると 異なる確率計算結果になるのは、決定番号を使う確率計算というものは
　well-defined でないってことだ（下記 『最終的な結論が中途の表式に依存している』）
4）そして、その原因は テンプレの>>4-5 に引用してあるが
　 ”infinite fair lottery”状態
　つまり、決定番号が自然数N全体を渡り Ω＝N で P(Ω)＝1とできない（Ωが無限大に発散）
　だってことだね

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/Well-defined
well-defined[注釈 1]（ウェル・ディファインド）は、「定義によって一意の解釈または値が割り当てられる」ことを言う[2]。
経由する中途の表式に依存しない
往々にして、（数学上の）定義はいくつもの表式を経由する[注釈 3]。このとき、最終的な結論が中途の表式に依存している場合[注釈 4]、well-defined であるとは言えない。
つまり定めた対象が一意に存在しているとき、well-defined であるという。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731325608/16

21: １３２人目の素数さん [] 2024/11/11(月) 21:01:46.94 ID:xGTnxzX9

つづき

rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1729769396/791 スレ26
791現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2024/11/10 ID:zvgSRz4H
>>779
>　決定番号を排除したいなら選択公理を否定するしかない
>>787
>「選択公理を仮定すれば箱入り無数目が成立する」
>を否定したいなら
>「選択公理を仮定しても箱入り無数目は成立しない」
>を示さなければならない
>選択公理は要らないとかまったくトンチンカン

ふっふ、ほっほ
おれの主張は、真逆だ

1）選択公理は、お飾りだ。選択公理の否定はしない
　肯定するよ。その上で、>>764で
『・集合族が、有限個の集合で成り立っているとき、『その特定のケースは、選択公理のないツェルメロ–フランケル集合論 (ZF) の定理』
・特に、集合族が、1個の集合で成り立っているとき、『選択関数は単に要素に対応するだけなので・・、自明』
・さて、いま j列中でどれか1列を残し 他を開けて 有限j-1個の同値類を得る
　有限j-1個の同値類から、各一つの元を選んで代表とすることは、既述の通りで、ZFの定理にすぎず 選択公理は使わず済ますことは可能
・有限j-1個の同値類から、各一つの元を選んで代表として、それで 有限j-1個の決定番号が テンプレ>>1の方法で得られる』
　を示した
2）選択公理の否定はしない
　が、お飾りだ
　必要な同値類と代表と決定番号は、有限個で済んでいる
　だから、選択公理の否定はしないが、その実
　『その特定のケースは、選択公理のないツェルメロ–フランケル集合論 (ZF) の定理』
　で済んでいる
3）では、選択公理の箱入り無数目における役割や如何に？
　雰囲気作りだよ
　如何にも、”パラドックスが起きます”という
　お化け屋敷において、妖しい雰囲気を醸し出す
　「選択公理を使うと過去にパラドックスが出来た事例が沢山」
　「今回も 選択公理を使うパラドックスだ」と思わせる
4）どっこい
　使っている 同値類と代表と決定番号は、有限個で済んでいる
　だから 選択公理は否定しないが
　『その特定のケースは、選択公理のないツェルメロ–フランケル集合論 (ZF) の定理』
　で済んでいる

だから、「選択公理を使うパラドックス」は、今回は関係ない
今回は、決定番号で ” infinite fair lottery ”>>4-5
を使っていて、” infinite fair lottery ”で確率計算をしているのがまずいってこと
” infinite fair lottery ”では、全事象Ωが無限大に発散して
P(Ω)＝1の確率公理を満たせなくなっている
それなのに、確率計算をして 99/100 を導く
”99/100”は、決定番号を使う確率計算で well-defined でないってことだ>>778

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731325608/21

79: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/11/18(月) 07:50:09.76 ID:aerfUeO/

>>4-5 補足
>using a countably infinite fair lottery
>Fair infinite lotteries Sylvia Wenmackers · Leon Horsten

検索 Fair infinite lotteries
をすると 下記がヒットする

>>8より infinite fair lotteryは、非正則分布 を成す
”非正則分布は確率分布ではない！”

全事象Ωが、無限大に発散していて、確率公理 P(Ω)=1 を満たすことができない
これが、箱入り無数目のトリックです

(参考)”検索 Fair infinite lotteries”より
Fair Infinite Lotteries, Qualitative Probability, and Regularity
PhilSci-Archive
N DiBella 著 · 2021 · 被引用数: 5 — A number of philosophers have thought that fair lotteries over count- ably infinite sets of outcomes are conceptually incoherent by virtue of violating ...
31 ページ

Fair Infinite Lotteries, Qualitative Probability, and Regularity
Cambridge University Press & Assessment
N DiBella 著 · 2022 · 被引用数: 5 — A number of philosophers have thought that fair lotteries over countably infinite sets of out- comes are conceptually incoherent by virtue of ...
21 ページ

(PDF) Vitali Sets and Fair Infinite Lotteries
ResearchGate
2024/01/09 — PDF | There has been recent interest in the theoretical possibility of a uniform probability distribution on the the counting numbers N.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731325608/79

510: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/11/23(土) 23:33:20.04 ID:dngn2gaF

>>508
これは御大か
夜の巡回ご苦労さまです

便所板でプロ数学者の巡回はありがたいです （＾＾
変な虫がわいてくるのが、ぐっと減りました
弥勒菩薩さまの攻撃もすごく強力で、ありがたいです （＾＾；

さて、>>502 " D >= dk が実現できるような
おおきな数 D は、存在しない"を、補足します

1）まず >>317より
『有限長のj個の箱の数列 を考える
　各箱にはサイコロの出目 1〜6を入れる
　同値類は、最後の箱で決まり
　6種ある。最後の箱が、1か2か・・6か
　で、ある一つの同値類の元の場合の数は、6^j-1 通り
　全体では、6^j 通り。つまり、決定番号d ＜ j は 確率(6^j-1)/6^j=1/6
　よって、d = jは、確率1-1/6=5/6
　（ここでご注目は、決定番号の存在確率は 最後の d = j が圧倒的に大ってこと）』
2）いま サイコロの出目でなく 実数で考える
　区間[0,1]の実数をランダムに箱に入れる
　同値類は、最後の箱で決まり
　連続無限種ある。最後の箱で、r,r'∈[0,1]で
　r≠r'ならば別の同値類で、r＝r'ならば同じ同値類
　さて、最後より一つ前 j-1番目の箱を考えると
　r＝r'となる確率は0 （∵ 区間[0,1]の実数で1点適中はルベーグ測度0で確率も0です）
　つまり、決定番号の存在確率は  P(d = j)＝1 ,そして d = j 以外の確率0です
3）この状態で 列長さを無限大にした極限を考えると
　j →∞ですから しっぽ同値を決める最後の箱は無限の彼方へ飛び去る
　決定番号d が有限の場合の確率は 0 になる（>>4-5のinfinite fair lottery 同様です）
　なお、確率 0 は、事象の非存在を意味しない。存在するが 確率 0 です（コルモゴロフ 0-1法則類似）

よって、100列で 99列はコケオドシの飾りで
D >= dk が実現できるように見せる ダマシの手品の仕掛けだが
数学的には、D >= dk が実現できる D は、非存在なのですｗ ；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731325608/510

575: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/11/25(月) 07:34:40.75 ID:PVFg9nt/

>>567-574
ふっふ、ほっほ

>「箱入り無数目は成功しない　なぜなら選択公理は偽だからだ」というのは無し

ありだよ。その理由は、>>4-5の ”infinite fair lottery”現象で
”（Pruss氏）
The probabilistic reasoning depends on a conglomerability assumption, ・・・and we have no reason to think that the conglomerability assumption is appropriate.”だ

もっと言えば、>>8 「非正則分布は確率分布ではない！？」 ai-trend.jp/basic-study/bayes/improper_prior/
の状態
つまり、全事象Ωが無限大に発散し、確率公理P(Ω)=1が満たせない、根源事象の確率0
これらは、ZFC内だよ。つまり、選択公理があっても
『全事象Ωが無限大に発散し、確率公理P(Ω)=1が満たせない、根源事象の確率0』の状態はありｗ ；ｐ）

>> Solovay model（ZFCで選択公理を弱い従属選択公理DCに換えたモデル：非可測集合が存在しない）
>　つまり、Solovay modelではVitali setは集合ではない

そこ面白いから解説しておくよ ；ｐ）

>>562 より
en.wikipedia.org/wiki/Solovay_model
Solovay model
Statement
ZF stands for Zermelo–Fraenkel set theory, and DC for the axiom of dependent choice.
Solovay's theorem is as follows. Assuming the existence of an inaccessible cardinal, there is an inner model of ZF + DC of a suitable forcing extension V[G] such that every set of reals is Lebesgue measurable, has the perfect set property, and has the Baire property.
Complements
途中略す
で
(google訳)
Shelah と Woodin (1990) は、超コンパクト基数が存在する場合、実数によって生成される構成可能な集合であるL ( R ) 内のすべての実数集合はルベーグ測定可能であり、ベール特性を持つことを示しました。これには、すべての「合理的に定義可能な」実数集合が含まれます。
(引用終り)

要するに、Solovay model：ZFCで選択公理を弱い従属選択公理DCに換えたモデル
この中には、非可測なVitali set 存在しない（ or 構成できない )ってこと

もっと比喩的に言えば、非可測なVitali set は、Solovay modelの外の世界にはある ってことだ
これが、2024年のいま言えることよｗ ；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731325608/575

623: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/11/25(月) 20:49:16.88 ID:PVFg9nt/

>>621-622
ふっふ、ほっほ

>自然数をひとつ選択してください

自然数の集合Nからの選択は、選択公理でいえば 集合族がただ1つ つまりは下記”Restriction to finite sets”の特殊例にすぎない
だから、一つ1でも2でもご随意にだが
さて、箱入り無数目との関連でいえば、自然数の集合Nは無限集合なので”ランダム”に一つ選ぶが定義できない
つまり、”infinite fair lottery”>>4-5 と同じ話で、全事象Ωが発散しているのでP(Ω)=1 が不成立で
”ランダム”に一つ選ぶが定義できない（大数の法則も不成立）

>神戸の落ちこぼれエッタ君は、実数が整列可能だと示すのに
>「実数の整列の固定例を示してくださいね」

エッタという部落差別用語を使わないように
警告しました
その上で、下記の 整列集合 例と反例 実数からなる集合
”正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ≤ を考えたものは整列順序ではない。例えば開区間 (0, 1) は最小元を持たない。一方、選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる。しかし、ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、R 上の整列順序を定義する論理式は存在しない[1]”
を百回音読しましょう！ｗ ；ｐ）

(参考)
en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
Axiom of choice
Restriction to finite sets
(google訳)
選択公理の通常の記述では、空でない集合の集合が有限か無限かは指定されず、したがって、空でない集合の有限集合はすべて選択関数を持つことになります。しかし、その特定のケースは、選択公理 (ZF) のないツェルメロ–フランケル集合論の定理です。これは有限帰納法の原理によって簡単に証明できます。[ 7 ] 1つの集合の集合というさらに単純なケースでは、選択関数は単に要素に対応するだけなので、この選択公理の例は、空でない集合はすべて要素を持つと言います。これは自明に成り立ちます。選択公理は、有限集合に対してすでに明らかなこの特性を、任意の集合に一般化することを主張するものと見ることができます。

Usage
(google訳)
19 世紀後半まで、選択公理は正式には述べられていなかったものの、暗黙的に使われることが多かった。たとえば、集合X には空でない集合だけが含まれると確定した後、数学者は関数F を定義するために「 X内のすべてのsに対してF ( s ) をsの要素の 1 つとする」と言ったかもしれない。一般に、選択公理なしにF が存在することを証明することは不可能だが、これはツェルメロまで気づかれなかったようだ。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731325608/623

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