ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

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616: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/26(日) 08:41:01.73 ID:57hfZFiX

”＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”

>>615
>なぜなら重要なのは
>>sup{α|aα is defined}
>であって、aαの並び方は選択関数で一意に決まり、他の並び方を考える必要がまったく無いから。

あたま腐ってない？
　>>612に例示したように
自然数N={0,1,2,3,4,・・・}を整列させるとき
可能な列の最小長さは ωで
あと任意 ω・m (m>2の自然数)と出来て
ω・ω も可能なんだろうね
だが、非可算のω1には 到達できない
並びは、一意ではない。>>583 "as desired" (en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theoremより)
だよ

>>611
>よって|sup{α|aα is defined}|=|A|でなければならない。

??? なんだそれ？

>>609
>ところでZFでは最小の無限順序数ωのべき集合P(ω)が整列不能なモデルが存在する
>（もちろん、このようなモデルでは選択公理は成立しない）
>CantorやZermeloがこれを聞いたら発狂するだろうな

ZFで可算選択公理さえ採用しなければ、当然だろ？
そもそも、可算選択公理なしでは 可算集合Aさえ整列できない
Cantorは、暗黙に可算選択公理を前提としていたというが、かれの現役時代は選択公理を知らない
しかし、Zermeloが選択公理を導入したから、Zermeloは すぐ理解するだろう

>>586
>選択関数の定義域は？
>「Aの空でない部分集合全体」つまりP(A)-Φだよね？

なんだそりゃ？
選択関数が分ってない？
あのさ、数学科の学部1年か2年がいうなら、独創的な発想だね とか まだかわいいよ
しかし、30年前に 数学科修士を卒業して よって あれから30年経つ人がいうか？
「あなた、全く数学の才能ないね？！」でしょ
それだと、大学数学科行っても、チンプンカンプンで終わったろうさ ；ｐ）
やれやれ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/616

622: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/26(日) 11:14:29.98 ID:57hfZFiX

>>619 補足

ja.wikipediaでは、Ａばかり出てきて 分りにくいので
en.wikipediaより 下記ご参照

なお、下記のja.wikipedia可算選択公理と従属選択公理とを合わせると
要するに、取り扱える集合族が 非可算ならば フルパワー選択公理
可算の範囲で、単純なのが 可算選択公理
さらに、”従属選択公理が主張しているのは、その極限であるような可算無限列が取れるということ”(下記)

で、平たくいえば、フルパワー選択公理の定義域で 集合族の添え字を
非可算から、可算に制限すると 可算選択公理か従属選択公理になる
ということ

大は小を兼ねるで、フルパワー選択公理は、可算選択公理が出来ること、従属選択公理できることは
全てできる。

繰り返すが、定義域の集合族の添え字を可算に制限すると、可算選択公理か従属選択公理になる
当たり前だが、関数の定義域は 都合により いろいろ制限してよい
また、必要により 矛盾なく拡張できるならば、そうして良い
（あたかも、指数関数e^x＝exp(x) は、歴史的には 自然数が考えられ、その後負のベキが考えられ、有理数のベキに拡大され、そして実数Rから複素数Cに定義域は拡張された。関数の定義域とは、そういうものよ ；ｐ）

(参考)
en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
Axiom of choice
Statement
A choice function (also called selector or selection) is a function f, defined on a collection X of nonempty sets, such that for every set A in X, f(A) is an element of A. With this concept, the axiom can be stated:
Axiom — For any set X of nonempty sets, there exists a choice function f that is defined on X and maps each set of X to an element of that set.
Formally, this may be expressed as follows:
∀X[Φ not∈X ⟹ ∃f:X→⋃A∈X A ∀A∈X(f(A)∈A)].

ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理の変種
選択公理には様々な変種が存在する
可算選択公理
従属選択公理

ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
可算選択公理とは、公理的集合論における公理のひとつで、空でない集合からなる可算な集合族があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるという公理である。ACωとも表記される。名前の通り、選択公理を可算集合族に限定したものになっている

ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
従属選択公理DCとは、選択公理の弱い形で、しかし実解析の大部分を行うのに十分な公理である
形式的な言明
従属選択公理とは、次の言明である: 任意の空でない集合
X とその上の全域二項関係
R に対して、列(xn)n∈N を全ての n∈N. に対して xnR xn+1 であるように取れる
使用例
従属選択公理が主張しているのは、その極限であるような可算無限列が取れるということである。
公理 DC は
AC の断片であって、超限帰納法の各ステップで選択をする必要があって、それまでの選択に独立した選択ができない場合に、可算長の列を構成するのに必要である

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/622

631: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/26(日) 14:09:16.80 ID:57hfZFiX

>A(=A＼Φ),A＼{a0},A＼{a0,a2},・・,A＼{a0,a2,・・},・・
>を得るにはP(A)-Φを定義域とする選択関数が必要。

妄想沸いてるよｗ ；ｐ）
下記 Jechの証明を2つ再録しよう

1）
　>>486より 再度転記しよう
T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics)
Thomas Jechの 証明
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for everv α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempt.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■

2）
また
(再掲)>>504より
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof from axiom of choice
The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]
Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.　
For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting
aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated).
Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
9＾ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7.
(引用終り)

どちらも、aα=f(A-{aξ：ξ<α}) あるいは aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
つまり、関数で書くと
・ｆ：A-{aξ:ξ<α} → aα
・ｆ：A∖{aξ∣ξ<α} → aα

"P(A)-Φを定義域とする選択関数が必要"?
妄想沸いてるよ ｗ ；ｐ）
定義域 A-{aξ:ξ<α} または {aξ∣ξ<α}■

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/631

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