[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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305(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/15(水)17:47 ID:ZCTGHyhi(9/11) AAS
つづき
ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AC%AC%E4%B8%80%E5%8F%AF%E7%AE%97%E7%9A%84%E7%A9%BA%E9%96%93
第一可算空間（英: first-countable space）とは、"第一可算公理"を満たす位相空間のこと。位相空間 X が第一可算公理を満たすとは「各点 x が高々可算な近傍からなる基本近傍系（局所基）をもつこと」を指す。
すなわちx の可算個の開近傍 U1, U2, …で以下の性質を満たすものが存在するということである：
x の任意の近傍 V に対しある
i∈N が存在し、Vは Uiを部分集合として含む。
例と反例
普通に使われる空間のほとんどは第一可算的である。特に、距離空間はすべて第一可算的である。
というのは、各点 x に対し、それを中心とする半径 1/n (n は正の整数) の開球の系列は x の可算な基本近傍系となっている。
第一可算的でない空間の例として、補有限位相を入れた (実数直線などの) 非可算集合がある。
別の反例としては順序数空間 ω1+1 = [0, ω1] がある。ここで ω1 は最小の非可算順序数である。
点 ω1 は [0, ω1) の極限点であるが、そのどんな可算点列を持ってきても ω1 を極限としては持てない。特に、 ω1+1 = [0, ω1] の点である ω1 は可算な基本近傍系を持てない。部分空間である ω1 = [0, ω1) は第一可算的である。
商位相空間 R/N （実数直線上の自然数全体を一つの点と見なした空間）は第一可算的でない。
しかしながら、この空間には「任意の部分集合 A とその閉包の任意の点 x に対し、A の点列で x に収束するものがある」という性質がある。
このような性質をもつ空間をフレシェ・ウリゾーン空間という。
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ハウスドルフ空間（英: Hausdorff space）とは、異なる点がそれらの近傍によって分離できるような位相空間のことである。これは分離空間(separated space)またはT2 空間とも呼ばれる。位相空間についてのさまざまな分離公理の中で、このハウスドルフ空間に関する条件はもっともよく仮定されるものの一つである。ハウスドルフ空間においては点列（あるいはより一般に、フィルターやネット）の極限の一意性が成り立つ
(引用終り)
以上
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