[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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338: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/16(木)10:54 ID:6RwEALUm(3/8) AA×
>>292


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338: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/16(木) 10:54:46.00 ID:6RwEALUm >>292より 再録 定理　選択公理⇒整列定理 証明 空でない集合Xの任意の空でない部分集合Yをその元∃y∈Yに対応させる写像f(Y)=yの存在が選択公理により保証される。 X上の二項関係≦を ∀Y⊂X.((Y≠{})⇒∀y∈Y.(f(Y)≦y)) で定義する。 反射律の確認：∀a∈Xについて、≦の定義を{a}に適用しa≦aを得る。 推移律の確認：∀a,b,c∈Xについて、a≦b ∧ b≦c を仮定する。≦の定義を{a,b,c}に適用しa≦cを得る。 反対称律の確認：∀a,b∈Xについて、a≦b ∧ b≦a を仮定する。≦の定義を{a,b}に適用しf({a,b})=a ∧ f({a,b})=bを得る。fは写像だからa=b。 全順序律の確認：∀a,b∈Xについて、fの定義よりf({a,b})=a ∨ f({a,b})=b。≦の定義を{a,b}に適用しa≦b ∨ b≦aを得る。 以上で≦がX上の全順序であることが確認された。 さらに、≦の定義より、Xの任意の空でない部分集合Yに最小元f(Y)が存在するから、≦はX上の整列順序である (引用終り) ・これ、いま思うと、君は 集合X から 要素を取り出さずに、集合X の中で 　整列順序を構築しようとしたんだね ・しかし、選択公理⇒整列定理 の 標準的な ”証明のスジ” は 　整列順序については、順序数との対応を付けることで、軽く流す ・順序数との対応を付けるために、 　”集合X から 要素を取り出して 並べる”という　 　これは 多分定石だろうが 　それを知らなかったんだ つまり、数学の 定石と手スジ（手筋）の勉強不足だった そういうことですね ご苦労様です http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/338
より 再録 定理 選択公理整列定理 証明 空でない集合の任意の空でない部分集合をその元に対応させる写像の存在が選択公理により保証される 上の二項関係を で定義する 反射律の確認についての定義をに適用しを得る 推移律の確認について を仮定するの定義をに適用しを得る 反対称律の確認について を仮定するの定義をに適用し を得るは写像だから 全順序律の確認についての定義より の定義をに適用し を得る 以上でが上の全順序であることが確認された さらにの定義よりの任意の空でない部分集合に最小元が存在するからは上の整列順序である 引用終り これいま思うと君は 集合 から 要素を取り出さずに集合 の中で 整列順序を構築しようとしたんだね しかし選択公理整列定理 の 標準的な 証明のスジ は 整列順序については順序数との対応を付けることで軽く流す 順序数との対応を付けるために 集合 から 要素を取り出して 並べるという これは 多分定石だろうが それを知らなかったんだ つまり数学の 定石と手スジ手筋の勉強不足だった そういうことですね ご苦労様です

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