[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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361(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/17(金)16:30 ID:MEr9oV+O(3/6) AAS
>>341
>下記の"選択公理を仮定すれば、整列定理により任意の集合 A に対して A と同数であるような順序数が存在することが言える"
>を使うと、循環論法になる
>ツォルンの補題を経由すると、”循環論法！”と言われるのを、一応避けられるね ；ｐ）
補足します
１）上記 ”任意の集合 A に対して A と同数であるような順序数が存在する”
が、選択公理に依存していると、>>310の wikipedia Well-ordering theorem の証明で
上記 ”順序数”の性質を使ったり あるいは
そもそも、”Well-ordering theorem”(＝整列可能定理)自身が、
上記 ”順序数”の性質を使っているとすると
”Well-ordering theorem”(＝整列可能定理) → 選択公理 の証明が、循環論法です
２）ところが、>>349の ”スコットのトリック”で
”この方法は選択公理でなく正則性公理に依存している。選択公理を仮定しないZFにおいて順序数の代表元を定義するのに用いることができる[2]”
とすれば、循環論法にはならない
３）なお、蛇足ながら
ツォルンの補題 ←→ 整列可能定理 の同値性について
ツォルンの補題が、陽には ”順序数”の性質（選択公理）と無関係であるならば
整列可能定理が ”順序数”の性質を使っているとしても
直ちに循環論法にはならんだろうと、思ったしだいですが
しかし、”スコットのトリック”が、使えれば すっきりですね （＾＾
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