ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

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3(3): 01/01(水)09:59 ID:2b7XvZNh(3/10) AA×

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3:  [] 2025/01/01(水) 09:59:04.02 ID:2b7XvZNh

つづき

メモ （デデキントのガロア理論講義の話が興味深い）
https://www.jstage.jst.go.jp/article/kisoron1954/15/4/15_4_159/_pdf
ガロア理論の推移史について
中村幸四郎*
科学基礎論研究1982

この論文は多くの後継者を経て,後に「ガロア理論」
といわれ,数学理論のうちの理論ともいわれるものとな
り,現代に及んでいることは周知のとおりであるが,私
はこの小文において,これがフランス数学からドイツ数
学へ移行する問題を,数学史の1つの問題として考察し
ょうと思う。
2.現在行われている「ガロア理論」は約150年の歳月
を経て,ガロアの原著とは著しく変ったものとなってい
る.その最も著しい点はガロアの原著が群(とくに有限
群)を基調とするものであるのに対比して,現代の理論
は体(Korper)の理論,特に体の「拡大」(Erweiterung)
を基礎に置くものとなっている。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E6%9D%91%E5%B9%B8%E5%9B%9B%E9%83%8E
中村 幸四郎（1901年6月6日 - 1986年9月28日）は、日本の数学者（数学基礎論・数学史）。大阪大学名誉教授、関西学院大学名誉教授、兵庫医科大学名誉教授、文学博士。従四位勲三等旭日中綬章

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H18-tamagawa.pdf
数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成18年)
ガロア理論とその発展 玉川安騎男

環の典型的な現れ方として、与えられた空間Xの上の（適当な条件を満たす）関数全体のなす環があります。この場合、関数の値の和、差、積を考えることにより、関数の和、差、積を定義します。（1,0は、それぞれ恒等的に値1,0を取る関数として定義します。）
実は、任意の環はこのようにして得られることが知られています。
より正確に言うと、与えられた環Rに対し、アフィンスキームと呼ばれるある種の空間Spec(R)が定まり、Rは空間Spec(R) 上の正則関数全体のなす環と自然に同一視されます。更に、環を考えることとアフィンスキームを考えることは本質的に同等であることが知られています。一般のスキームは、アフィンスキームをはり合わせることにより定義されます。
１９５０年代後半にグロタンディークによって定義されたこのスキームは、代数多様体（≈多項式で定義される図形）の概念を大きく一般化するもので、現在の代数幾何学・数論幾何学の基礎をなす概念です。

グロタンディークの提唱した形での遠アーベル幾何は、遠アーベルスキームの一般的な定義が見つかっていないなど、理論的にはまだまだ発展途上の状態ですが、既にいくつもの重要な結果が得られています。例えば、ノイキルヒ・内田の定理は、（グロタンディークが遠アーベル幾何を提唱する以前の結果ですが）遠アーベル幾何における一つの基本的な結果となっています。また、近年では、代数曲線やそのモジュライ空間の遠アーベル幾何の研究が、（本研究所を中心に）さまざまな角度から進められ、興味深い結果がいくつも得られています。このように、１９世紀前半に生まれたガロア理論は、現代もなお強い生命力を持って進化しています。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/3

つづき
メモ デデキントのガロア理論講義の話が興味深い
ガロア理論の推移史について
中村幸四郎
科学基礎論研究
この論文は多くの後継者を経て後にガロア理論
といわれ数学理論のうちの理論ともいわれるものとな
り現代に及んでいることは周知のとおりであるが私
はこの小文においてこれがフランス数学からドイツ数
学へ移行する問題を数学史のつの問題として考察し
ょうと思う
現在行われているガロア理論は約年の歳月
を経てガロアの原著とは著しく変ったものとなってい
るその最も著しい点はガロアの原著が群とくに有限
群を基調とするものであるのに対比して現代の理論
は体の理論特に体の拡大
を基礎に置くものとなっている
中村 幸四郎年月日 年月日は日本の数学者数学基礎論数学史大阪大学名誉教授関西学院大学名誉教授兵庫医科大学名誉教授文学博士従四位勲三等旭日中綬章
数学入門公開講座テキスト京都大学数理解析研究所平成年
ガロア理論とその発展 玉川安騎男
環の典型的な現れ方として与えられた空間の上の適当な条件を満たす関数全体のなす環がありますこの場合関数の値の和差積を考えることにより関数の和差積を定義しますはそれぞれ恒等的に値を取る関数として定義します
実は任意の環はこのようにして得られることが知られています
より正確に言うと与えられた環に対しアフィンスキームと呼ばれるある種の空間が定まりは空間 上の正則関数全体のなす環と自然に同一視されます更に環を考えることとアフィンスキームを考えることは本質的に同等であることが知られています一般のスキームはアフィンスキームをはり合わせることにより定義されます
１９５０年代後半にグロタンディークによって定義されたこのスキームは代数多様体多項式で定義される図形の概念を大きく一般化するもので現在の代数幾何学数論幾何学の基礎をなす概念です
グロタンディークの提唱した形での遠アーベル幾何は遠アーベルスキームの一般的な定義が見つかっていないなど理論的にはまだまだ発展途上の状態ですが既にいくつもの重要な結果が得られています例えばノイキルヒ内田の定理はグロタンディークが遠アーベル幾何を提唱する以前の結果ですが遠アーベル幾何における一つの基本的な結果となっていますまた近年では代数曲線やそのモジュライ空間の遠アーベル幾何の研究が本研究所を中心にさまざまな角度から進められ興味深い結果がいくつも得られていますこのように１９世紀前半に生まれたガロア理論は現代もなお強い生命力を持って進化しています
つづく

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