[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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410: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/18(土)23:41 ID:yCcyDMub(10/12) AAS
つづき
(参考)
mathlandscape.com/binary-relation/
数学の風景
二項関係とは
2023.10.26
ある集合 A があったとしましょう。この2つの元
x,y∈A に対し，何らかの「関係」が定まっているとします。このとき，
x,y には関係があるといいます。
このように，ある集合の2つの元に定める「関係」を，二項関係といいます。
たとえば，A を人間たちの集合とします。人 x,y∈A が友達であるとき，
x,y は「関係がある」と言うことにしましょう。これが「二項関係」です。
この関係に名称をつけるなら「友達関係」ですね。友達でない二人の人には，「友達関係はない」ですね。
他にも，人間同士には，「知り合いの関係」「部下と上司の関係」「同僚の関係」「同国籍の関係」など，さまざまな関係を定めることができそうですね。
あるいは，R を実数の集合としましょう。この上には，
x,y に対して，x≤y あるいは y≤x という「二項関係」が定まっています。
これを順序関係（大小関係）と言ったりします。
二項関係の厳密な定義
1つの集合の上には，いろいろな「二項関係」を考えることが可能ですから，一般に数学において「二項関係」を定義するときは，関係があるかないかのみを定義します。
関係があるかないかを数学的に厳密に定義したいとしましょう。果たしてどうすればよいでしょうか。厳密な定義を見てみましょう。
定義（二項関係）
R が A 上の二項関係 (binary relation) であるとは，直積集合
A^2 =A×A の部分集合R⊂A×Aのことである。
(x,y)∈R のことを，xRy ともかく。
R という記号を持ちましたが，実際は ∼,≤ をはじめ，さまざまな記号が用いられます。
ちょっと定義に戸惑ったかもしれません。数学的に「2つの関係」の有無を定義しようと思うと，関係があれば属するような集合を考えるというわけです。
(x,y)∈R なら xRy という関係があると考え，(x,y) not∈R なら，そのよう関係がないと考えるわけですね。
たとえば，R 上の順序関係（大小関係） R は，集合でかけばR={(x,y)∈R^2 ∣x≤y}
とかけます。
mathlandscape.com/ordered-set-2/
数学の風景
半順序集合・全順序集合の定義・具体例4つとその周辺
2023.08.16
定義（前順序集合・半順序集合・全順序集合）
X 上の4つの二項関係 ≤ について，
1.任意の x∈X に対して，x≤x (反射律)
2.x,y,z∈X に対して，x≤y,y≤z ならば x≤z (推移律)
3.x,y∈X に対して，x≤y,y≤x ならば x=y (反対称律)
4.任意の x,y∈X に対して，x≤y または y≤x (完全律)
のうち，
1,2 をみたすものを前順序集合 (preorderd set)，
1,2,3 をみたすものを半順序集合 (順序集合; partially ordered set; poset)，
1,2,3,4をみたすものを全順序集合 (totally ordered set)という
つづく
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