[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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411: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/18(土)23:41 ID:yCcyDMub(11/12) AAS
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mathlandscape.com/wellordered-set/
数学の風景
整列集合と整列可能定理
2024.01.21
整列集合とは，「間隔を空けてきれいに順番に並んだ」集合のことで，具体的には，どんな部分集合を持ってきてもちゃんと大小関係として最小値が定まるような順序集合のことを言います。
整列集合の定義
整列集合＝全順序＋(任意)部分集合が常に最小値を持つ
定義1（整列集合）
半順序集合 A に対し，任意の空でない部分集合が最小値を持つとき，整列集合 (well-ordered set) という。
「半順序集合」といいましたが，任意の2元が最小値を持つことから，整列集合は全順序集合です。半順序集合・全順序集合については以下の図が分かりやすいと思います(→半順序集合・全順序集合の定義・具体例4つとその周辺)。
前順序集合：反射律と推移律
半順序集合：反射律、推移律と反対称律
全順序集合：反射律、推移律、反対称律と完全律
5. 整列可能定理
（いつもお世話になっている尾畑先生）
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
東北大 尾畑研
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_12.pdf
第12章 順序集合
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_13.pdf
第13章 整列集合
13.1 整列集合
順序集合(X,≼)はすべての空でない部分集合が最小元をもつとき整列集合であるといいそのような順序を整列順序という
定義から整列集合は必ず全順序集合であることに注意しよう
実際a,b∈Xに対して集合{a,b}はXの空でない部分集合になるからそれは最小元をもつ最小元はaまたはbであるがそれがaであればa≼bとなるしそれがbであればb≼aとなる
これは任意のa,bが比較可能であることを意味し Xは全順序集合であることがわかる
定義から空でない整列集合Xそれ自身は最小元min X をもつ
ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
整列集合（英: wellordered set）、または整列順序付けられた集合（せいれつじゅんじょづけられたしゅうごう）とは、数学における概念の1つで、整列順序を備えた集合のことをいう。ここで、集合 S 上の整列順序関係 (wellorder) とは、S 上の全順序関係 "≤" であって、S の空でない任意の部分集合が必ず ≤ に関する最小元をもつものをいう。
順序数
→詳細は「順序数」を参照
任意の整列集合は、その整列集合の順序型と呼ばれるただ一つの順序数に順序同型である。
実数からなる集合
正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ≤ を考えたものは整列順序ではない。例えば開区間 (0, 1) は最小元を持たない。一方、選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる。しかし、ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、R 上の整列順序を定義する論理式は存在しない[1]。ただし、R 上の定義可能な整列順序の存在は ZFC と(相対的に)無矛盾である。例えば V=L は ZFC と(相対的に)無矛盾であり、ZFC+V=L ではある特定の論理式が R（実際には任意の集合）を整列順序付けることが従う。
(引用終り)
以上
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