[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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486(7): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/21(火)16:52 ID:N2eH+PDU(2/6) AAS
つづき

再度転記しよう
T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics)
Thomas Jechの 証明
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choicc fimction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for everv α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempt.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■

おサルは、『並べる前から集合族 A∖{aξ∣ξ<α}だけ取り出せるか？
　答えは否』というけれど
おサルは、Jech氏の証明について
”That we can do by induction, using a choicc fimction f for the family S of all nonempty subsets of A.”
を、集合Xに対して、任意の部分集合に対して、順序数との対応が 付けられて それを使って”induction”が可能だと
読んだ

ところがところが、もしそれが可能ならば 例えば実数集合R={r1,r2,・・ri,・・rj,・・,rt,・・}として
これに対して、各単元集合 {ri}, {rj} に なにか順序数を振り当てることができて
αi →{ri}, αj →{rj}, などと順序数との対応ができて
αi ≦ αj とすれば ri ≦ rj の順序が可能で
これは、任意の元 rt に対して 順序数αtとの対応ができて 順序数が整列だから
実数集合R が整列できてしまう

これが、任意集合Xに対する 部分集合で 順序数との対応が可能というならば
その時点で、整列可能定理の証明は、終わってしまい、その後は不要ですな！■

同じ欠点が、>>473に引用した 選択公理⇒整列定理 の証明にも言えて
集合Xの任意の空でない部分集合Y に 二項関係を導入して それが 整列順序だと 証明して
そこから、もとの集合Xの整列順序の可能を証明する

まあ、単純明快だが、欠点は 集合Xの任意の空でない部分集合Yの集まりは、べき集合2^X を成すので
もとの 集合Xを扱うよりも、圧倒的に 難しくなる
（集合X=N(自然数)に対して、2^X＝R(実数)となってしまうことから、明らかだね；ｐ）
以上

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