ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

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534: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/23(木) 13:43:59.70 ID:OWxAi42s

つづき

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
従属選択公理
このような公理が無いとしても、各 n について普通の帰納法によって最初の n 項を有限列としてとることはできる。
従属選択公理が主張しているのは、その極限であるような可算無限列が取れるということである。
公理 DC は AC の断片であって、超限帰納法の各ステップで選択をする必要があって、それまでの選択に独立した選択ができない場合に、可算長の列を構成するのに必要である。
DCはツォルンの補題の弱い形と同値である; 具体的には
DC は全ての整列された鎖が有限で有界であるような半順序は必ず極大元を持つという命題と同値である。[3]

他の公理との関連
完全な AC と違って、DC は(ZF の下で) 実数の不可測集合やベールの性質を持たない集合や perfect set property を持たない集合の存在を証明するのに不十分である。
これはソロヴェイモデルにおいては ZF+DC が成り立ちながら実数の集合が全てルベーグ可測でベールの性質を持ち perfect set property を持つからである。
従属選択公理は可算選択公理を導き、それより真に強い公理である。[4][5]
従属選択公理の一般化としてさらに長い超限列の生成を認めるものを考えることができる。認める長さを際限なくした場合、それは完全な選択公理と同値になる。

ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
可算選択公理
空でない集合からなる可算な集合族があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるという公理である。
ACωとも表記される。名前の通り、選択公理を可算集合族に限定したものになっている。
応用
ZF に ACωを付け加えた公理系では、可算集合の可算和が可算であることや、
任意の無限集合がデデキント無限であることなどが証明できる[1]。
実数論においては選択公理ではなく可算選択公理で事足りる場合が多い[1]。例えばすべての集積点
xがある数列の極限点であること、すなわち
「xが実数Rの部分集合Sの集積点ならば、
xに収束する数列S∖{x}が存在する」
という命題を証明したい場合には(フルパワーのACでなく)ACωを用いれば十分である。
また、距離空間論において、可分距離空間の任意の部分集合が可分であることを示す際にも用いられる

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/534

535: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/23(木) 13:44:22.66 ID:OWxAi42s

つづき

de.wikipedia.org/wiki/Abz%C3%A4hlbares_Auswahlaxiom
独語（google英訳）
Countable Axiom of Choice
Of course, for certain (possibly uncountable) sets of nonempty sets, a selection function can also be specified without the (countable) selection axiom, e.g.
・when the cut ∩A is not empty, because then there is a constant selection function,
・if the association ∪A well-ordered , because then the smallest element in terms of well-ordering can be taken from any set, and
・if it is a family of intervals of real numbers, because then the midpoint of each interval can be taken.
On the other hand, even for a countable family of two-element sets, the existence of a selection function cannot be proven in ZF.

ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理
en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
Axiom of choice
Weaker forms
There are several weaker statements that are not equivalent to the axiom of choice but are closely related. One example is the axiom of dependent choice (DC). A still weaker example is the axiom of countable choice (ACω or CC), which states that a choice function exists for any countable set of nonempty sets. These axioms are sufficient for many proofs in elementary mathematical analysis, and are consistent with some principles, such as the Lebesgue measurability of all sets of reals, that are disprovable from the full axiom of choice.

Given an ordinal parameter α ≥ ω+2 — for every set S with rank less than α, S is well-orderable. Given an ordinal parameter α ≥ 1 — for every set S with Hartogs number less than ωα, S is well-orderable. As the ordinal parameter is increased, these approximate the full axiom of choice more and more closely.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/535

536: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/23(木) 13:44:46.03 ID:OWxAi42s

つづき

ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数（英: ordinal number）とは、整列集合同士の“長さ”を比較するために、自然数[1]を拡張させた概念である。
定義
整列集合 (A, <) に対して、A を定義域とする写像 GA, < を超限帰納法によって
GA,< (a)={GA,<(x)∣x<a}
と定義したとき、GA, < の値域 ran(GA, <) を (A, <) の順序数といい、
これを ord(A, <) で表す。
ある整列集合の順序数であるような集合を順序数と呼ぶ[2]。

集合の濃度と基数
→詳細は「濃度 (数学)」を参照
集合 A から集合 B への全単射が存在するとき、A と B は同数 (equinumerous) であるといい、
A ≈ B で表す。
選択公理を仮定すれば、整列定理により任意の集合 A に対して A と同数であるような順序数が存在することが言える。
そこで、集合 A と同数であるような順序数の中で最小のものを A の濃度 (cardinality of A) といい、
これを |A| あるいは card(A) で表す。
ある集合 A に対して α = |A| である順序数 α を基数 (cardinal number) と呼ぶ。集合の濃度に関して次が成り立つ：
|A| = |B| 　⇔　 A ≈ B
A が有限集合のとき、|A| は A の要素の個数に等しい。
基数に対しても、上で定義した順序数の演算とは別に和、積、冪を定義することができる。

www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
東北大 尾畑研
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_11.pdf
TAIKEI-BOOK :2019/1/1(22:21) 東北大 尾畑研
第11章選択公理
定理11.7(可算和定理)
略す
次の主張は定理11.7の特別な場合であり単純な仮定に置き換わっているが選択公理なしでは証明できない
（注：ja.wikipedia 可算選択公理で、ZF に ACωを付け加えた公理系では、可算集合の可算和が可算である が証明できるとある）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/536

547: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/23(木) 18:26:22.65 ID:OWxAi42s

>>541 つづき
”＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”

>>544 お愉しみを邪魔して悪いが
ちょっと、『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に戻る
結論は
１）ZF上で、コーシー列が収束することは言える
２）ZFC上でならば、コーシー列が収束することが、実数の定義として成り立ち
　従来知られている 実数の位相的な性質 完備距離空間だとか なんだとか いろいろ 言える
３）下記 ZF＋可算選択公理では、”9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.”
　”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,”
　”5. R is a Lindel¨ of space,”（リンデレーエフ空間になる）
　が、 Equivalent が言える。が、そこまでで詰み（従属選択公理DCでどうなるかは 不明だが、ソロベイモデルがあるので もっと言えそう）
４）以上より、ZF上で なんらの選択公理を仮定しないならば、”コーシー列が収束すること”までで詰みかも ；ｐ）

(参考) >>84より 再録
archive.wikiwix.com/cache/display2.php?url=http%3A%2F%2Fwww.emis.de%2Fjournals%2FCMUC%2Fpdf%2Fcmuc9703%2Fherrli.pdf
Comment.Math.Univ.Carolin. 38,3(1997)545–552 545
Choice principles in elementary topology and analysis Horst Herrlich
1. In the realm of the reals
We start by observing that several familiar topological properties of the reals are equivalent to each other and to rather natural choice-principles.
Theorem 1.1 ([15], [29], [30]). Equivalent are:
1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,
2. a function f : R → R is continuous at a point x iff it is sequentially continuous at x,
3. a real-valued function f : A → R from a subspace A of R is continuous iff it is sequentially continuous,
4. each subspace of R is separable,
5. R is a Lindel¨ of space,
6. Q is a Lindel¨ of space,
7. N is a Lindel¨ of space,
8. each unbounded subset of R contains an unbounded sequence,
9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.
There exist models of ZF that violate the above conditions ([17], [18]).
Observe the fine distinction between conditions 2 and 3 of Theorem 1.1.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/547

548: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/23(木) 18:27:18.09 ID:OWxAi42s

つづき

(参考 追加)
en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_countable_choice
Axiom of countable choice
Equivalent forms
There are many equivalent forms to the axiom of countable choice, in the sense that any one of them can be proven in ZF assuming any other of them. They include the following:[8][9]
・Every countable collection of non-empty sets has a choice function.[8]
・Every infinite collection of non-empty sets has an infinite sub-collection with a choice function.[8]
・Every σ-compact space (the union of countably many compact spaces) is a Lindelöf space (every open cover has a countable subcover).[8] A metric space is σ-compact if and only if it is Lindelöf.[9]
・Every second-countable space (it has a countable base of open sets) is a separable space (it has a countable dense subset).[8] A metric space is separable if and only if it is σ-compact.[9]
・Every sequentially continuous real-valued function in a metric space is a continuous function.[8]
・Every accumulation point of a subset of a metric space is a limit of a sequence of points from the subset.[9]
・The Rasiowa–Sikorski lemma MA(ℵ0), a countable form of Martin's axiom: in a preorder with the countable chain condition, every countable family of dense subsets has a filter intersecting all the subsets. (In this context, a set is called dense if every element of the preorder has a lower bound in the set.)[8]

References
8^ Howard, Paul; Rubin, Jean E. (1998). Consequences of the axiom of choice. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0977-8. See in particular Form 8, p. 17–18.
9^ Herrlich, Horst (1997). "Choice principles in elementary topology and analysis" (PDF). Comment. Math. Univ. Carolinae. 38 (3): 545. See, in particular, Theorem 2.4, pp. 547–548.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/548

549: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/23(木) 18:27:36.84 ID:OWxAi42s

つづき

en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers
Construction of the real numbers

en.wikipedia.org/wiki/Constructivism_(philosophy_of_mathematics)#Example_from_real_analysis
Constructivism (philosophy of mathematics)
Example from real analysis
In classical real analysis, one way to define a real number is as an equivalence class of Cauchy sequences of rational numbers.

en.wikipedia.org/wiki/Complete_metric_space
Complete metric space

ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93
完備距離空間
実数全体の成す集合を、有理数全体の成す集合の通常の絶対値で測った距離に関する完備化として得る、カントールによる実数の構成法は、上記の構成法と同様だが、実数の構成において実数自身の完備性を用いることは論理的に許されないという問題に慎重に取り組まねばならない。そうは言っても、上記と同じくコーシー列の同値類を定義して、その同値類全体の成す集合が有理数の全体を部分体として含む体を成すことを示すのは容易である。この新しい体は完備であり、自然な全順序を備え、同型を除いて唯一の完備全順序体となる。こうして実数全体の成す体が「定義」される（より詳しくは実数の構成法（英語版）の項も参照のこと）。こうして作った実数と普段見慣れた実数とが同一視できるということを実感する一つの方法は、その実数を極限として与える「はず」の有理コーシー数列の同値類を同定することである。例えば実数の十進小数展開を途中で打ち切ることは、対応する同値類に属するコーシー列を一つ選ぶことに相当する。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/549

551: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/23(木) 21:02:12.93 ID:y/IThbaj

>>550
>実数とは連続公理を満たす順序体（の元）である
>よってZFで連続公理を満たす順序体が構成できればそれがZF上の実数である
>それ以上でも以下でもない

なるほど
それは、理屈だ
至言ですね

よって、結論
・ZFで、コーシー列の収束は証明できる。そこで詰み
・ZF+可算選択公理で、先に進める。例えば、”5. R is a Lindel¨ of space,”（リンデレーエフ空間になる）>>547
　（”5. R is a Lindel¨ of space,”では、まだ不十分）
・さらに先に進むには、さらなる強いパワーの従属選択公理DCかAC(フルパワー選択公理)が必要

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0%E3%81%AE%E9%80%A3%E7%B6%9A%E6%80%A7
実数の連続性（continuity of real numbers）とは、実数の集合がもつ性質である。有理数はこの性質を持たない。
実数の連続性は、実数の完備性 (completeness of the real numbers) とも言われる。また、実数の連続性を議論の前提とする立場であれば実数の公理と記述する場合もある。
なお、ここで言う連続性は、関数の連続性とは別の概念である。
実数の連続性と同値な命題
実数の連続性と同値な命題は多数存在する。順序体（位相は順序位相を入れる）において、実数の公理は
1.デデキントの公理
2.上限性質を持つ
3.有界単調数列の収束定理
4.アルキメデス性と区間縮小法の原理を満たす
5.ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理
6.次の２条件を満たす
・アルキメデス性を持つ
・コーシー列は収束する
7.中間値の定理
8.最大値の定理
9.ロルの定理
10.ラグランジュの平均値の定理
11.コーシーの平均値の定理
12.ハイネ・ボレルの定理
と同値である。
赤摂也『実数論講義』 には、これらの命題を含めて22個の同値な命題とその証明が記されている。

https://en.wikipedia.org/wiki/Completeness_of_the_real_numbers
Completeness is a property of the real numbers that, intuitively, implies that there are no "gaps" (in Dedekind's terminology) or "missing points" in the real number line. This contrasts with the rational numbers, whose corresponding number line has a "gap" at each irrational value. In the decimal number system, completeness is equivalent to the statement that any infinite string of decimal digits is actually a decimal representation for some real number.
Depending on the construction of the real numbers used, completeness may take the form of an axiom (the completeness axiom), or may be a theorem proven from the construction. There are many equivalent forms of completeness, the most prominent being Dedekind completeness and Cauchy completeness (completeness as a metric space).

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/551

553: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/23(木) 21:16:44.08 ID:y/IThbaj

>>545
(引用開始)
>>318
>なんで、必ずある順序数が上限として存在るするといえるのか、わからんから
うん、俺もその辺だいぶ悩んだ
自分では解決できたと思ってるが、正しいかは分からん
(引用終り)

>>318 より
　個人的には>>309のJechの証明も、ちと不安だ
　なんで、必ずある順序数が上限として存在るするといえるのか、わからんから
　多分、「なんだ、そういうことか！」っていうくらい、つまらんことだと思うけど
(引用終り)

横レス すまん
ベルンシュタインの定理とか、選択公理がいるとか 要らないとか言われるが（下記 en.wikipedia）
それはとこかく、いま Jechの証明 の任意集合Aが、ある集合の濃度を持つとしよう（ZFC内ではね）
そうすると、その濃度から決まる 順序数の上限が存在することが言えるだろう
それは、任意集合Aの冪集合の濃度を超えない
つまり、任意集合Aの冪集合の濃度によって押えられる 集合Aが持ちうる順序数の上限があるのでは？

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6der%E2%80%93Bernstein_theorem
Schröder–Bernstein theorem
Prerequisites
The 1895 proof by Cantor relied, in effect, on the axiom of choice by inferring the result as a corollary of the well-ordering theorem.[8][9] However, König's proof given above shows that the result can also be proved without using the axiom of choice.

On the other hand, König's proof uses the principle of excluded middle to draw a conclusion through case analysis. As such, the above proof is not a constructive one. In fact, in a constructive set theory such as intuitionistic set theory
IZF, which adopts the full axiom of separation but dispenses with the principle of excluded middle, assuming the Schröder–Bernstein theorem implies the latter.[19] In turn, there is no proof of König's conclusion in this or weaker constructive theories. Therefore, intuitionists do not accept the statement of the Schröder–Bernstein theorem.[20]

There is also a proof which uses Tarski's fixed point theorem.[21]

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
ベルンシュタインの定理（ベルンシュタインのていり、カントール＝ベルンシュタイン＝シュレーダーの定理、シュレーダー＝ベルンシュタインの定理、カントール＝ベルンシュタインの定理とも、英: Schröder–Bernstein theorem）とは、集合 A から集合 B に単射 があり、集合 B から集合 A へも単射があれば、集合 A から集合 B への全単射があるというものである。濃度においては、これは |A| ≤ |B| かつ |B| ≤ |A| ならば |A| = |B| である、ということを言っているわけで、非常に基本的な要請がこの定理によって満たされることになる。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/553

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