[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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534: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/23(木)13:43 ID:OWxAi42s(4/12) AAS
つづき
(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
従属選択公理
このような公理が無いとしても、各 n について普通の帰納法によって最初の n 項を有限列としてとることはできる。
従属選択公理が主張しているのは、その極限であるような可算無限列が取れるということである。
公理 DC は AC の断片であって、超限帰納法の各ステップで選択をする必要があって、それまでの選択に独立した選択ができない場合に、可算長の列を構成するのに必要である。
DCはツォルンの補題の弱い形と同値である; 具体的には
DC は全ての整列された鎖が有限で有界であるような半順序は必ず極大元を持つという命題と同値である。[3]
他の公理との関連
完全な AC と違って、DC は(ZF の下で) 実数の不可測集合やベールの性質を持たない集合や perfect set property を持たない集合の存在を証明するのに不十分である。
これはソロヴェイモデルにおいては ZF+DC が成り立ちながら実数の集合が全てルベーグ可測でベールの性質を持ち perfect set property を持つからである。
従属選択公理は可算選択公理を導き、それより真に強い公理である。[4][5]
従属選択公理の一般化としてさらに長い超限列の生成を認めるものを考えることができる。認める長さを際限なくした場合、それは完全な選択公理と同値になる。
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
可算選択公理
空でない集合からなる可算な集合族があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるという公理である。
ACωとも表記される。名前の通り、選択公理を可算集合族に限定したものになっている。
応用
ZF に ACωを付け加えた公理系では、可算集合の可算和が可算であることや、
任意の無限集合がデデキント無限であることなどが証明できる[1]。
実数論においては選択公理ではなく可算選択公理で事足りる場合が多い[1]。例えばすべての集積点
xがある数列の極限点であること、すなわち
「xが実数Rの部分集合Sの集積点ならば、
xに収束する数列S∖{x}が存在する」
という命題を証明したい場合には(フルパワーのACでなく)ACωを用いれば十分である。
また、距離空間論において、可分距離空間の任意の部分集合が可分であることを示す際にも用いられる
つづく
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