[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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536: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/23(木)13:44 ID:OWxAi42s(6/12) AAS
つづき
ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数（英: ordinal number）とは、整列集合同士の“長さ”を比較するために、自然数[1]を拡張させた概念である。
定義
整列集合 (A, <) に対して、A を定義域とする写像 GA, < を超限帰納法によって
GA,< (a)={GA,<(x)∣x<a}
と定義したとき、GA, < の値域 ran(GA, <) を (A, <) の順序数といい、
これを ord(A, <) で表す。
ある整列集合の順序数であるような集合を順序数と呼ぶ[2]。
集合の濃度と基数
→詳細は「濃度 (数学)」を参照
集合 A から集合 B への全単射が存在するとき、A と B は同数 (equinumerous) であるといい、
A ≈ B で表す。
選択公理を仮定すれば、整列定理により任意の集合 A に対して A と同数であるような順序数が存在することが言える。
そこで、集合 A と同数であるような順序数の中で最小のものを A の濃度 (cardinality of A) といい、
これを |A| あるいは card(A) で表す。
ある集合 A に対して α = |A| である順序数 α を基数 (cardinal number) と呼ぶ。集合の濃度に関して次が成り立つ：
|A| = |B| ⇔ A ≈ B
A が有限集合のとき、|A| は A の要素の個数に等しい。
基数に対しても、上で定義した順序数の演算とは別に和、積、冪を定義することができる。
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
東北大 尾畑研
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_11.pdf
TAIKEI-BOOK :2019/1/1(22:21) 東北大 尾畑研
第11章選択公理
定理11.7(可算和定理)
略す
次の主張は定理11.7の特別な場合であり単純な仮定に置き換わっているが選択公理なしでは証明できない
（注：ja.wikipedia 可算選択公理で、ZF に ACωを付け加えた公理系では、可算集合の可算和が可算である が証明できるとある）
つづく
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