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ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
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549: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/23(木) 18:27:36.84 ID:OWxAi42s つづき en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers Construction of the real numbers en.wikipedia.org/wiki/Constructivism_(philosophy_of_mathematics)#Example_from_real_analysis Constructivism (philosophy of mathematics) Example from real analysis In classical real analysis, one way to define a real number is as an equivalence class of Cauchy sequences of rational numbers. en.wikipedia.org/wiki/Complete_metric_space Complete metric space ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93 完備距離空間 実数全体の成す集合を、有理数全体の成す集合の通常の絶対値で測った距離に関する完備化として得る、カントールによる実数の構成法は、上記の構成法と同様だが、実数の構成において実数自身の完備性を用いることは論理的に許されないという問題に慎重に取り組まねばならない。そうは言っても、上記と同じくコーシー列の同値類を定義して、その同値類全体の成す集合が有理数の全体を部分体として含む体を成すことを示すのは容易である。この新しい体は完備であり、自然な全順序を備え、同型を除いて唯一の完備全順序体となる。こうして実数全体の成す体が「定義」される（より詳しくは実数の構成法（英語版）の項も参照のこと）。こうして作った実数と普段見慣れた実数とが同一視できるということを実感する一つの方法は、その実数を極限として与える「はず」の有理コーシー数列の同値類を同定することである。例えば実数の十進小数展開を途中で打ち切ることは、対応する同値類に属するコーシー列を一つ選ぶことに相当する。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/549
つづき 完備距離空間 実数全体の成す集合を有理数全体の成す集合の通常の絶対値で測った距離に関する完備化として得るカントールによる実数の構成法は上記の構成法と同様だが実数の構成において実数自身の完備性を用いることは論理的に許されないという問題に慎重に取り組まねばならないそうは言っても上記と同じくコーシー列の同値類を定義してその同値類全体の成す集合が有理数の全体を部分体として含む体を成すことを示すのは容易であるこの新しい体は完備であり自然な全順序を備え同型を除いて唯一の完備全順序体となるこうして実数全体の成す体が定義されるより詳しくは実数の構成法英語版の項も参照のことこうして作った実数と普段見慣れた実数とが同一視できるということを実感する一つの方法はその実数を極限として与えるはずの有理コーシー数列の同値類を同定することである例えば実数の十進小数展開を途中で打ち切ることは対応する同値類に属するコーシー列を一つ選ぶことに相当する 引用終り 以上
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