ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
上下前次 1-新
通常表示 512ﾊﾞｲﾄ分割ﾚｽ栞

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索歴削→次ｽﾚ栞削→次ｽﾚ過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

551: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/23(木) 21:02:12.93 ID:y/IThbaj

>>550
>実数とは連続公理を満たす順序体（の元）である
>よってZFで連続公理を満たす順序体が構成できればそれがZF上の実数である
>それ以上でも以下でもない

なるほど
それは、理屈だ
至言ですね

よって、結論
・ZFで、コーシー列の収束は証明できる。そこで詰み
・ZF+可算選択公理で、先に進める。例えば、”5. R is a Lindel¨ of space,”（リンデレーエフ空間になる）>>547
　（”5. R is a Lindel¨ of space,”では、まだ不十分）
・さらに先に進むには、さらなる強いパワーの従属選択公理DCかAC(フルパワー選択公理)が必要

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0%E3%81%AE%E9%80%A3%E7%B6%9A%E6%80%A7
実数の連続性（continuity of real numbers）とは、実数の集合がもつ性質である。有理数はこの性質を持たない。
実数の連続性は、実数の完備性 (completeness of the real numbers) とも言われる。また、実数の連続性を議論の前提とする立場であれば実数の公理と記述する場合もある。
なお、ここで言う連続性は、関数の連続性とは別の概念である。
実数の連続性と同値な命題
実数の連続性と同値な命題は多数存在する。順序体（位相は順序位相を入れる）において、実数の公理は
1.デデキントの公理
2.上限性質を持つ
3.有界単調数列の収束定理
4.アルキメデス性と区間縮小法の原理を満たす
5.ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理
6.次の２条件を満たす
・アルキメデス性を持つ
・コーシー列は収束する
7.中間値の定理
8.最大値の定理
9.ロルの定理
10.ラグランジュの平均値の定理
11.コーシーの平均値の定理
12.ハイネ・ボレルの定理
と同値である。
赤摂也『実数論講義』 には、これらの命題を含めて22個の同値な命題とその証明が記されている。

https://en.wikipedia.org/wiki/Completeness_of_the_real_numbers
Completeness is a property of the real numbers that, intuitively, implies that there are no "gaps" (in Dedekind's terminology) or "missing points" in the real number line. This contrasts with the rational numbers, whose corresponding number line has a "gap" at each irrational value. In the decimal number system, completeness is equivalent to the statement that any infinite string of decimal digits is actually a decimal representation for some real number.
Depending on the construction of the real numbers used, completeness may take the form of an axiom (the completeness axiom), or may be a theorem proven from the construction. There are many equivalent forms of completeness, the most prominent being Dedekind completeness and Cauchy completeness (completeness as a metric space).

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/551

553: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/23(木) 21:16:44.08 ID:y/IThbaj

>>545
(引用開始)
>>318
>なんで、必ずある順序数が上限として存在るするといえるのか、わからんから
うん、俺もその辺だいぶ悩んだ
自分では解決できたと思ってるが、正しいかは分からん
(引用終り)

>>318 より
　個人的には>>309のJechの証明も、ちと不安だ
　なんで、必ずある順序数が上限として存在るするといえるのか、わからんから
　多分、「なんだ、そういうことか！」っていうくらい、つまらんことだと思うけど
(引用終り)

横レス すまん
ベルンシュタインの定理とか、選択公理がいるとか 要らないとか言われるが（下記 en.wikipedia）
それはとこかく、いま Jechの証明 の任意集合Aが、ある集合の濃度を持つとしよう（ZFC内ではね）
そうすると、その濃度から決まる 順序数の上限が存在することが言えるだろう
それは、任意集合Aの冪集合の濃度を超えない
つまり、任意集合Aの冪集合の濃度によって押えられる 集合Aが持ちうる順序数の上限があるのでは？

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6der%E2%80%93Bernstein_theorem
Schröder–Bernstein theorem
Prerequisites
The 1895 proof by Cantor relied, in effect, on the axiom of choice by inferring the result as a corollary of the well-ordering theorem.[8][9] However, König's proof given above shows that the result can also be proved without using the axiom of choice.

On the other hand, König's proof uses the principle of excluded middle to draw a conclusion through case analysis. As such, the above proof is not a constructive one. In fact, in a constructive set theory such as intuitionistic set theory
IZF, which adopts the full axiom of separation but dispenses with the principle of excluded middle, assuming the Schröder–Bernstein theorem implies the latter.[19] In turn, there is no proof of König's conclusion in this or weaker constructive theories. Therefore, intuitionists do not accept the statement of the Schröder–Bernstein theorem.[20]

There is also a proof which uses Tarski's fixed point theorem.[21]

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
ベルンシュタインの定理（ベルンシュタインのていり、カントール＝ベルンシュタイン＝シュレーダーの定理、シュレーダー＝ベルンシュタインの定理、カントール＝ベルンシュタインの定理とも、英: Schröder–Bernstein theorem）とは、集合 A から集合 B に単射 があり、集合 B から集合 A へも単射があれば、集合 A から集合 B への全単射があるというものである。濃度においては、これは |A| ≤ |B| かつ |B| ≤ |A| ならば |A| = |B| である、ということを言っているわけで、非常に基本的な要請がこの定理によって満たされることになる。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/553

555: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/23(木) 23:35:15.41 ID:y/IThbaj

>>551 関連

math.stackexchange
で
Feferman has, I think, spent quite a bit of intellectual effort on just this question; see, for example, math.stanford.edu/~feferman/papers/psa1992.pdf. –
LSpice
CommentedAug 29, 2014 at 23:51
とあったので、下記貼ります

(参考)
math.stanford.edu/~feferman/papers/psa1992.pdf
From PSA 1992, vol. 2 (1993),
pp. 442–455  (with with corrections)

Why a little bit goes a long way: Logical foundations of scientifically applicable mathematics*1
Solomon Feferman

(Notes *1. Invited lecture in the Symposium, "Is foundational work in mathematics relevant to the philosophy of science?" at the meeting of the Philosophy of Science Association, Chicago, Nov. 1, 1992.)

8.  Final remarks.
Like most scientists, philosophers of science could simply take mathematics for granted and not concern themselves with its foundations, as being irrelevant to their main concerns.  But, as Hellman has emphasized in his introduction to his article in this volume, debates like those discussed here as to realism vs. (e.g.) instrumentalism, and as to the indispensability of highly theoretical concepts and principles, are equally central to the philosophy of science.  Whether the kind of logical results described here will be more directly relevant to those debates remains to be seen.  But as long as science takes the real number system for granted, its philosophers must eventually engage the basic foundational question of modern mathematics:  "What are the real numbers, really?"

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/555

558: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/24(金) 07:59:06.85 ID:U1RMCmJs

>>557
>　逆に上限がない場合、それは集合でない、と言えればいいんじゃね？

同意です
その筋は、ツォルンの補題の証明に書いてあった
『この列は本当に長い、添え字の範囲は単なる自然数ではなく、全ての順序数を動く。実は P と比較しても長すぎる。順序数の全体は真クラスを成すほど大きすぎて、普通の集合より大きくなる。そして、この長さにより集合 P の元を使い尽くすことで矛盾を得る。』
とか。（まだ、分ってないので、ツッコミなしね）

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A9%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%81%AE%E8%A3%9C%E9%A1%8C
ツォルンの補題（英: Zorn's lemma）またはクラトフスキ・ツォルンの補題
証明の概略
選択公理を仮定したツォルンの補題の証明を概略する。補題が成り立たないと仮定する。このとき半順序集合 P を、全ての鎖が上界を持つにもかかわらず、どの元もそれより大きな元を持つように取れる。
関数 b を実際に定義するには選択公理を使う必要がある。
この関数 b を使うことで、P の元の列 a0 < a1 < a2 < a3 < ... を定めることができる。この列は本当に長い、添え字の範囲は単なる自然数ではなく、全ての順序数を動く。実は P と比較しても長すぎる。順序数の全体は真クラスを成すほど大きすぎて、普通の集合より大きくなる。そして、この長さにより集合 P の元を使い尽くすことで矛盾を得る。
aiは次の超限帰納法で定義する。
略す
(引用終り)

>　それ、論点先取
>　問われてるのは、まさにある集合の濃度を持つかどうかだから

そうかも
いま、基礎論の教科書を書いているとする
そうすると、整列可能定理の証明前に、任意集合Aが なんらかの濃度を持つという
集合の濃度の章（or 節）を、すでに書いているかどうか（書けるかどうか）
だね

>>556
>「ZFで実数は存在しない」

・ZFで、有理数のコーシー列の収束が言えて
　それらの集合の存在が言える
・それらの集合をＲと名付ける
　では、集合Ｒの性質はどうか？
・>>547にあるように、ZF＋可算選択公理と、下記がEquivalent
　”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,”
　”5. R is a Lindel¨ of space,”（リンデレーエフ空間になる）
・ここから先、つまりリンデレーエフ空間より先
　デデキントやカントールが成したような 実数の公理を満たすところまで進むには、
　可算選択公理とのEquivalentを破る
　可算選択公理の上位の選択公理（従属選択公理DC や フルパワー選択公理AC）が必要■

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/558

561: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/24(金) 10:23:09.93 ID:BCvEAUed

”＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”

>>10より再録
・自然数 ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
　『形式的な定義 自然数の公理
　以上の構成(注 ノイマン構成)は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
　例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
　0 := {}
　1 := {0} = {{}}
　2 := {1} = {{{}}}
　3 := {2} = {{{{}}}}
　と非常に単純な自然数になる』
・0＜1＜2＜3＜・・・
　{}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}＜・・・
　ここで
　{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・
　と書ける
　何が言いたいか？
　{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・を逆に辿れば
　{}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}＜・・・ となり
　0＜1＜2＜3＜・・・ となる
・つまり、{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・ において
　∈を＜に書き換える
　そうして、{}→0、{{}}→1、{{{}}}→2、{{{{}}}}→3、・・・
　と順序数の背番号がついていると思え
　あるいは、例えば {{{}}}→2 ならば、括弧{}の多重度を基準に整列していると考えれば良い（括弧{}の多重度-1が、順序数に相当している）
・このように、列 {}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・を、順序関係＜に置き換えて
　{}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}＜・・・ として、整列集合と考えることができる（整列可能定理の主張はこれ）
・おサルさん、なにをとち狂ったか、列 {}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・ が、整列していることを否定する
　上記『{}∈{{{}}} は偽』とか、勝手な妄想を沸かす。ほんと、エンタの王で笑いを取る名人だね
　私には、単なるアホとしか思えないがｗ ；ｐ）
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/561

565: １３２人目の素数さん [] 2025/01/24(金) 11:18:42.62 ID:BCvEAUed

>>450
>競技人口は
>将棋が450万で
>囲碁は120万
>あと10年で囲碁人口は０になるだろうと
>今日の大会でコメントした人がいた

一応 テンプレ>>1より
「関連は、だいたい何でもありです（現代ガロア理論＆乗数イデアル関連他文学論・囲碁将棋まであります）」
とお断りをいれて （＾＾

さて、ID:D3v/mpAJ は、御大か
この話で、月刊碁ワールド 10月号 2024
『危機に立ち向かう 韓国囲碁界─後編 記・大島正雄』
などにも書かれていますが、いま韓国が世界戦で勝ちまくって
世界囲碁界でナンバーワンの座を享受していますが
その韓国でさえ、”危機”とあります

記事を読んでみると、要するに 韓国でも
コンピュータゲームやネットゲームに押されているらしい

”将棋が450万”ですが、藤井聡太ブームも
いまや、彼が勝つのが当たり前になった
（昔の 大山時代の再現か。大山時代より、もっと殺伐としているかも（一人が強すぎる））

ともかく、”琴棋書畫”(下記で棋が囲碁です)の時代は、遠い昔で
振興策が必要ですね

余談ですが、中国では 甲級リーグという 地域対抗プロ囲碁リーグ戦があり、それ囲碁振興策です
「ヒカルの碁」は、ブームになったのですが、そういうのも必要ですね

(参考)
www.nihonkiin.or.jp/publishing/go_world/goworld_202410.html
日本棋院
月刊碁ワールド 10月号 2024
目次
-特別現地取材-
危機に立ち向かう 韓国囲碁界─後編
記・大島正雄

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%90%B4%E6%A3%8B%E6%9B%B8%E7%94%BB
琴棋書畫（きんきしょが）、また琴碁書画とは、古代東アジアの文人・士大夫・官僚が嗜むべきとされた芸。四芸とも言う。
棋（圍棋、囲碁）
→詳細は「囲碁の歴史」を参照
棋は圍棋とも呼ばれ、囲碁のことである。棋は既に『論語』の中に孔子の弁として述べられるほど古い遊びである。当初「棋」とは六博を意味していたが、廃れると弾棋を意味するようになり、弾棋が廃れると囲碁を意味するようになった。
囲碁は占星術から始まったが、後漢時ごろから兵法に類似しているとして武人がたしなむようになり、南北朝時代からは文人や雅士の間で流行した。
囲碁の静かに対局する姿は傍観者から見て詩的な風情を誘い、詩にいくつも詠じられている。白居易や蘇軾は石を打つときの音に魅了されて詩を詠じている。
唐以降は待詔のうち棋をもって仕える『棋待詔』が置かれるようになり、国手と呼ばれる名人が務めた。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/565

566: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/24(金) 11:36:22.33 ID:BCvEAUed

>>563
(引用開始)
>では、集合Ｒの性質はどうか？
>・>>547にあるように、ZF＋可算選択公理と、下記がEquivalent
こじつけ
選択公理無しで言える性質もいくらでもある
選択公理有りで言える性質もいくらでもある
(引用終り)

じゃあ、何が言えるか書いてみて！ｗ ；ｐ）
＜先制攻撃＞
下記 ZF＋可算選択公理では、下記 Equivalent
”9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.”
”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,”
”5. R is a Lindel¨ of space,”（リンデレーエフ空間になる）
archive.wikiwix.com/cache/display2.php?url=http%3A%2F%2Fwww.emis.de%2Fjournals%2FCMUC%2Fpdf%2Fcmuc9703%2Fherrli.pdf
Comment.Math.Univ.Carolin. 38,3(1997)545–552 545
Choice principles in elementary topology and analysis Horst Herrlich

さて
”in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,”
を平たくいえば、a subset A：x0,x1,x2・・・ ,x なる 加算無限長の集積列が作れて
A＝{x0,x1,x2・・・ ,x} は、可算無限集合 とできる
ということだね

ところが、 ZFだけだと
A＼{x}＝{x0,x1,x2・・・ }（任意有限長の集合） しか言えない
つまり、ZF＋可算選択公理 の方が、集積点 x が明確になって、言えることが増えるってことでは？

繰り返すが
A＼{x}＝{x0,x1,x2・・・ }（任意有限長の集合）だけだと、集積点 x が明確でない
それで何が言える？ｗ ；ｐ）

追伸
　>>564は、テンプレ>>10に入れたし、勝負ありでしょ？ｗ ；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/566

569: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/24(金) 14:16:28.69 ID:BCvEAUed

>>567
>選択公理の要否は命題毎の各論

おっさん
某私大 数学科修士を鼻にかけて
基礎論自慢をして
弥勒菩薩氏から、”基礎論婆”と呼ばれるも
その実、大学１年の基礎論から詰んでいたってこと？？ｗ ；ｐ）
敵前逃亡かよ
口先の言い訳だけ、一人前

>>x0,x1,x2・・・ ,x なる 加算無限長の集積列が作れて
>xの左隣の項は何？

アタマ腐ってんのか？ｗ

順序数との一対一対応
0, 1, 2・・・ , ω
　↓↑
x0,x1,x2・・・ ,x

これで
ωの左隣の項は何 だって？ｗ ；ｐ）
お臍が茶を沸かすなｗｗ

ωは、極限順序数で 前者を有しない
だから、ωのすぐ左隣の項は ”無し”！！！！ｗ ；ｐ）
知らなかったんだｗｗｗｗ
さすが、大学１年の基礎論から詰んでいた男だ！ｗ

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
集合論および順序論（英語版）における極限順序数（きょくげんじゅんじょすう、英: limit ordinal）は 0 でも後続順序数でもない順序数を言う。あるいは、順序数 λ が極限順序数であるための必要十分条件は「λ より小さい順序数が存在して、順序数 β が λ より小さい限り別の順序数 γ が存在して β < γ < λ とできることである」と言ってもよい。任意の順序数は、0 または後続順序数、さもなくば極限順序数である。

例えば、任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω は、それよりも小さい任意の順序数（つまり自然数）n が常にそれよりも大きい別の自然数（なかんずく n + 1）を持つから、極限順序数である。

順序数に関するフォンノイマンの定義（英語版）を用いれば、任意の順序数はそれより小さい順序数全体の成す整列集合として与えられる。このとき、空でない順序数の集合が最大元を持たないならば、その和集合は常に極限順序数になる[1]。フォンノイマン基数割り当て（英語版）を用いれば、任意の無限基数もまた極限順序数となる。
(引用終り)

追伸
>>568
”>>>564は、テンプレ>>10に入れたし、勝負ありでしょ？ｗ ；ｐ）
「ABC予想を証明した」と言ったら証明したことになると？”

もうお前との論争は不要だよｗ
みんな、どっちが正しいか 分かっているだろうさｗｗｗ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/569

上下前次 1-新書関写板覧索設栞歴

あと 433 ﾚｽあります
ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 0.498s*