[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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622: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/26(日)11:14 ID:57hfZFiX(3/17) AAS
>>619 補足
ja.wikipediaでは、Ａばかり出てきて 分りにくいので
en.wikipediaより 下記ご参照
なお、下記のja.wikipedia可算選択公理と従属選択公理とを合わせると
要するに、取り扱える集合族が 非可算ならば フルパワー選択公理
可算の範囲で、単純なのが 可算選択公理
さらに、”従属選択公理が主張しているのは、その極限であるような可算無限列が取れるということ”(下記)
で、平たくいえば、フルパワー選択公理の定義域で 集合族の添え字を
非可算から、可算に制限すると 可算選択公理か従属選択公理になる
ということ
大は小を兼ねるで、フルパワー選択公理は、可算選択公理が出来ること、従属選択公理できることは
全てできる。
繰り返すが、定義域の集合族の添え字を可算に制限すると、可算選択公理か従属選択公理になる
当たり前だが、関数の定義域は 都合により いろいろ制限してよい
また、必要により 矛盾なく拡張できるならば、そうして良い
（あたかも、指数関数e^x＝exp(x) は、歴史的には 自然数が考えられ、その後負のベキが考えられ、有理数のベキに拡大され、そして実数Rから複素数Cに定義域は拡張された。関数の定義域とは、そういうものよ ；ｐ）
(参考)
en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
Axiom of choice
Statement
A choice function (also called selector or selection) is a function f, defined on a collection X of nonempty sets, such that for every set A in X, f(A) is an element of A. With this concept, the axiom can be stated:
Axiom — For any set X of nonempty sets, there exists a choice function f that is defined on X and maps each set of X to an element of that set.
Formally, this may be expressed as follows:
∀X[Φ not∈X ⟹ ∃f:X→⋃A∈X A ∀A∈X(f(A)∈A)].
ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理の変種
選択公理には様々な変種が存在する
可算選択公理
従属選択公理
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
可算選択公理とは、公理的集合論における公理のひとつで、空でない集合からなる可算な集合族があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるという公理である。ACωとも表記される。名前の通り、選択公理を可算集合族に限定したものになっている
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
従属選択公理DCとは、選択公理の弱い形で、しかし実解析の大部分を行うのに十分な公理である
形式的な言明
従属選択公理とは、次の言明である: 任意の空でない集合
X とその上の全域二項関係
R に対して、列(xn)n∈N を全ての n∈N. に対して xnR xn+1 であるように取れる
使用例
従属選択公理が主張しているのは、その極限であるような可算無限列が取れるということである。
公理 DC は
AC の断片であって、超限帰納法の各ステップで選択をする必要があって、それまでの選択に独立した選択ができない場合に、可算長の列を構成するのに必要である
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