ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

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649: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/26(日) 19:56:51.37 ID:57hfZFiX

＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/

さて
『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』の前に
Zorn's lemma を、取り上げようと思う
まず、マクラです

(参考)
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
東北大 尾畑研 いつもお世話になっております
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_12.pdf
TAIKEI-BOOK : 2019/1/1(22:21) 東北大 尾畑研
第12章 順序集合
12.3 ツォルンの補題
順序集合に極大元があるための使いやすい十分条件を与えておこう
定理12.18 (ツォルンの補題)
空でない順序集合Xにおいて
すべての全順序部分集合が上界をもつならばにXは極大元が存在する

すべての全順序部分集合が上界をもつような順序集合をツォルン集合と呼ぶ
そうするとツォルンの補題定理はツォルン集合には極大元が存在することを主張する
証明は長いのでいくつかの段階に分割する
証明
途中略（原文ご参照）
ツォルンの補題(定理12.18)の証明の完成
・・・に矛盾する
この矛盾はXに極大元が存在しないと仮定したことから生じたので
Xには極大元が存在する■

選択公理ツォルンの補題(定理12.18)の証明に選択公理(AC2)を用いたので選択公理からツォルンの補題が導かれたと言うことができる
実は逆も正しく次の主張が成り立つ
定理12.23
選択公理とツォルンの補題は同値である

www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_11.pdf
TAIKEI-BOOK : 2019/1/1(22:21) 東北大 尾畑研
第11章選択公理
11.2選択公理
選択公理には同値な述べ方が何通りかある大まかには選択集合を用いるか選択関数を用いるかあるいは直積集合を用いることになるがそれぞれに多少のバリエーションがあるここでは使いやすく簡潔なものを採用しよう
(AC2) Ω を空でない集合族とする
　もしΦnot∈ Ωであれば写像f：Ω→ ∪XですべてのX∈Ω に対してf(X)∈Xとなるものが存在する.
　この写像fを集合族Ωの選択関数という

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/649

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