ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (903ﾚｽ)
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504: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/22(水) 10:37:48.99 ID:XJPGzntw

＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ）

>>498
(再掲)>>497より
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof from axiom of choice
The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]
Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.　注）＊
For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting
aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated).
Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
9＾ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7.
注）＊
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.

という具合に、後付けで、簡単に ”注）＊” とでも やっておけば、それで済む話では？
要するに、
”the family S of all nonempty subsets of A.”は、ZFのべき集合公理から従う
Aのべき集合公理を、いつものようにP(A)と書く。P(A)は、空集合Φを含むので
the family S＝P(A)＼Φ と書ける
分出公理を使うと、Sの部分集合として
{A∖Φ,A∖{Φ,a1},A∖{Φ,a1,a2},A∖{Φ,a1,a2,a3},・・ A∖{aξ∣ξ<α}・・}
これから 集合族 が出来て
A∖Φ,A∖{Φ,a1},A∖{Φ,a1,a2},A∖{Φ,a1,a2,a3},・・ A∖{aξ∣ξ<α}・・
集合族は、順序数で添え字付けられている と考えることができる
この集合族に、選択関数を適用すれば良い

”Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.”
で大概の人は分かる

初学者向けに（君のために ；ｐ）
”That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.”
と書けば、多少親切ってことかな ；ｐ）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/504

510: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/22(水) 16:07:47.30 ID:XJPGzntw

>>508
(引用開始)
じゃ、fを表に出しなよ
A,A∖f(A),(A∖f(A))∖f(A∖f(A)),…
↓
f(A),f(A∖f(A)),f((A∖f(A))∖f(A∖f(A))),…
定義域の集合族を{A,A∖f(A),(A∖f(A))∖f(A∖f(A)),…}に制限したいらしいけど
それ中のfを全部消さないと、循環論法でアウトだから
(引用終り)

ふっふ、ほっほｗ ；ｐ）

(再掲)>>504より
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof from axiom of choice
The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]
Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.　注）＊
For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting
aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated).
Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
9＾ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7.
注）＊
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
(引用終り)

さて、この en.wikipedia Well-ordering theorem の
Proof from axiom of choice by 9＾ Jech, Thomas (2002). Set Theory で
ここの記載 ”For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting
aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.”
が、循環論法だと？ 気は確かか？ｗ

”aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})”において
明らかに f 選択関数 で
定義域の集合族 A∖{aξ∣ξ<α}  これが、関数の入力で
aα が、関数 fの出力で a ∈A で
aα は aが順序数αで添え字付けできたことを表す
順序を ”defined by aα<aβ if and only if α<β”とすれば
aは、整列できたことになる
（ここ aα<a'β とでもしておく方がいいかもね ；ｐ）

で、循環論法だと？
おれに言わずに、Jech, Thomas にお手紙書いてね
返事が来たら、ここにアップしてくれｗｗ ；ｐ）
笑える おサルさんよ>>7-10 ｗｗｗ ；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/510

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