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ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002レス)
ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/
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582: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/25(土) 08:29:59.60 ID:vKwDmbNO >>581 おっちゃん、どうも スレ主です 了解です お元気そうでなによりです。 今後ともどうかよろしくお願いいたします。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/582
583: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/25(土) 09:00:51.33 ID:vKwDmbNO >>580 うーん (引用開始) >>557 ID:knZwyXgJ さん >>553 > いま Jechの証明 の任意集合Aが、ある集合の濃度を持つとしよう(ZFC内ではね) それ、論点先取 問われてるのは、まさにある集合の濃度を持つかどうかだから > そうすると、その濃度から決まる 順序数の上限が存在することが言えるだろう > それは、任意集合Aの冪集合の濃度を超えない > つまり、任意集合Aの冪集合の濃度によって押えられる > 集合Aが持ちうる順序数の上限があるのでは? 逆に上限がない場合、それは集合でない、と言えればいいんじゃね? (引用終り) だった つまり、 en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem >>404 (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}. Notes 9^ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7. あるいは 海賊版のThomas Jechの 証明を 転記>>464 if A-{aξ:ξ<α} is nonempt. Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}. Clearly,(aα:α< θ) enumerates A. ここで order type sup{α∣aα is defined} と Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}. とが対応して、同じ意味だと思う いまの議論で、選択公理→整列可能定理 の証明中で ”order type sup{α∣aα is defined}”を使って良いかどうか? 整理すると ZFCで、任意集合Aが、必ず濃度を持つということが言えて 一方で、順序数の理論体系が出来ていれば 集合Aの濃度は、冪集合P(A)の濃度を超えないから ”order type sup{α∣aα is defined}”が言える(なにか上限があるってこと) 但し、整列可能定理を陽に使っていないこと それ以外にも、 任意集合Aが、必ず濃度を持つということが言えれば ”order type sup{α∣aα is defined}”がなければ、それはクラスでしょ? (背理法) も考えられる http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/583
585: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/25(土) 09:24:30.11 ID:vKwDmbNO >>579 まず (引用開始)>>572より www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_13.pdf TAIKEI-BOOK : 2019/1/1(22:21) 東北大 尾畑研 第13章 整列集合 定理13.18 (超限帰納法) 略す ふつうの数学的帰納法は超限帰納法の整列集合Xとして自然数Nをとったものである また超限帰納法は証明だけではなく定義にも用いられる たとえば整列集合を定義域とする写像f(x)を{f(y)|y≺x}を用いて定義する手法がある これを再帰的定義または帰納的定義という ここで正確な主張を述べるのは難しいが X=Nの場合は第15.2節で扱う 下記の近藤友祐 集合論ノート0003 「整礎クラス上の超限帰納法と超限再帰法」 が参考になるだろう elecello.com/ 近藤友祐 2014 年 神戸大学 工学部 電気電子工学科 入学 (2011 年 11 月 03 日 第 12 回 日本数学コンクール論文賞 銀賞 受賞 神戸大学数学研究会 POMB で代表を務めたり 略 していました) elecello.com/doc/set/set0003.pdf 集合論ノート0003 整礎クラス上の超限帰納法と超限再帰法 近藤友祐 初稿: 2017/09/05 整礎クラス上の超限帰納法と超限再帰法について述べる. (引用終り) さて a(α)=f({a(ξ)∣ξ<α}) で Jechの証明 >>583で 任意集合A a∈A で α=0, a(0) ← A∖Φ α=1, a(1) ← A∖{aξ∣ξ<1} α=2, a(2) ← A∖{aξ∣ξ<2} ・ ・ とやって a(0)≠a(1)≠a(2)・・となる これで、Aの要素 a(i) 達に、順序数の番号付けができて これに、最後があれば良い (”order type sup{α∣aα is defined}”>>583) そうすれば、整列順序をAに導入できたってこと そして、上記の”←”の部分が、 選択関数であって それは選択公理で保証されるってこと http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/585
588: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/25(土) 11:39:29.19 ID:vKwDmbNO ”<公開処刑 続く> (『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか?』に向けて と (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてww ;p) rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” >>586 >選択関数の定義域は? >「Aの空でない部分集合全体」つまりP(A)-Φだよね? だれもそんなこと書いてないw 指数関数の定義域 e^x=exp(x) 指数関数の定義域は、複素数全体 C である 複素数Cから実数Rと 考えることはできる? 面白いね 独自説でしょ?w ;p) >>587 >>これに、最後があれば良い >有ることはどう示すつもり? あなたは Jechに聞きなさいよw その上で、各人がおのおの納得すればいいことだ そこはクリティカルじゃないぞw ;p) いろんな考え方があるでしょwww >>そうすれば、整列順序をAに導入できたってこと >分かって言ってる? お前がな!w ;p) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/588
592: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/25(土) 11:50:26.07 ID:vKwDmbNO ”<公開処刑 続く> (『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか?』に向けて と (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてww ;p) rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” >>584 (引用開始) >>583 > 任意集合Aが、必ず濃度を持つということが言えれば それ論点先取 集合が濃度を持つ、というために整列定理を使ってるので sup{α∣aα is defined}が存在しなければ集合ではない、というのは 整列定理と無関係に順序数の全体が順序数でない、ということから言えるだろ 集合の全体が集合でない、というのが整列定理を用いずにいえるのと同じく (引用終り) それ、Jechに言えよw ;p) あるいは、てめえで 「Jech 間違っている」論文書いて投稿しろよ!w Jechの教科書は、随分ながく 定評ある教科書として、その評価が定着しているよwww ;p) アホ晒すだけと思うよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/592
594: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/25(土) 13:11:40.55 ID:vKwDmbNO >>593 ”<公開処刑 続く> (『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか?』に向けて と (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてww ;p) rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” >>404より 海賊版サイトより (.pdf 正確なリンクは貼らない。著作権問題は 各人の責任でお願いいたします) Set Theory T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics). P48 Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem) いま手元の 海賊版 ”The Third Millennium Edition, revised and ... 2002.” で、初版が 1978年とある 随分 いろんな人の目に触れたと思うよ 問題点は、殆ど出尽くしじゃない? (^^ そして、”Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)” この ”5.The Axiom of Choice and Cardinal Arithmetic ” より前に ”2.Ordinal Numbers”と”3.Cardinal Numbers”と 二つの章を先行しておいてある Jech氏に『論点先取りで、順番間違っています!』って、手紙書きなよw きっと喜んでくれるだろうぜww ;p) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/594
596: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/25(土) 13:57:36.04 ID:vKwDmbNO >>593 ”<公開処刑 続く> (『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか?』に向けて と (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてww ;p) rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” >>595 (引用開始) >随分 いろんな人の目に触れたと思うよ >問題点は、殆ど出尽くしじゃない? (^^ いかにも自分の頭で考えられない馬鹿が言いそうな発言 (引用終り) まあ、経験則だな よくある話だが 数学書で、初版のあと 改訂版までの間に 正誤表が、アップされる (後で正誤表が出るのに、何時間も証明が分らない・・・と 悩んだ人もいるかもね ;p) そして、改訂版では 正誤表が 改訂に反映されるとともに 読者からの意見を入れるとか 時代の進歩を入れて 内容が改訂されるものです >>594の ”P48 Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)” の箇所も同様だろうという 推定がはたらくw (^^ ”The Third Millennium Edition, revised and ... 2002.” で、初版が 1978年, 2nd edition が、1997年 そして、今回の Third Millennium Edition 2002年で Preface を May 2002として、書いている ぶどう酒やウィスキーのようなもので 年月で熟成されるものもあるだろう ;p) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/596
598: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/25(土) 15:14:25.13 ID:vKwDmbNO ”<公開処刑 続く> (『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか?』に向けて と (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてww ;p) rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” (引用開始) >>586 選択関数の定義域は? 「Aの空でない部分集合全体」つまりP(A)-Φだよね? 決して{A,A∖{aξ∣ξ<1},A∖{aξ∣ξ<2},…}ではないよね だって、後者の場合aξを定義するのに選択関数使っちゃうから あくまで{A,A∖{aξ∣ξ<1},A∖{aξ∣ξ<2},…}はP(A)-Φの部分集合で しかも、選択公理と超限帰納法の適用の結果として分かるだけ 選択公理に先立って、定義域として示せるわけではない (引用終り) <サルの循環論法> 1)集合Aの冪集合P(A)に、順序数の割当ができるという (つまり、P(A)の順序数割当に上限がある) そうすると、当然 集合Aでも、順序数の割当ができるぞ! 2)もし、集合Aに 順序数の割当ができないとすると 当然、P(A)の順序数の割当ができない!!w 必死で、集合Aの順序数の割当に 突っかかるサル アホじゃん! てめえが、循環論法やってんじゃんか!!w ;p) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/598
604: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/25(土) 19:24:01.66 ID:vKwDmbNO ”<公開処刑 続く> (『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか?』に向けて と (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてww ;p) rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” >>598 補足 (再掲)>>504より en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem Well-ordering theorem Proof from axiom of choice The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9] Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A. 注)* For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting aα= f(A∖{aξ∣ξ<α}) if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is. That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated). Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}. Notes 9^ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7. 注)* That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A. (引用終り) 1)このJech氏証明のキモは、集合Aから 要素を a0,a1,a2,・・と取り出して そのときの選択関数の入力の集合が A(=A\Φ),A\{a0},A\{a0,a2},・・,A\{a0,a2,・・},・・となって 選択関数f:A∖{aξ∣ξ<α}→aα(つまりaα= f(A∖{aξ∣ξ<α})のこと) と書ける 2)これは、選択公理 により、選択関数fの存在が保証されているから、許される ここで、要素 a0,a1,a2,・・ 達は、順序数 0,1,2,・・ による添え字付けが出来ているのです この順序数 添え字の 整列を使って、 a0,a1,a2,・・ 達に 整列順序が導入できている また、同時に 要素 a0,a1,a2,・・ の整列も得られている これぞ、選択公理→整列可能定理の証明だ ってこと 3)sup{α∣aα is defined}の部分は、集合Aの濃度から決まる上限 Aの冪集合P(A)の濃度を超えないので 証明が終わる■ では、Aの冪集合P(A)の整列で 同じことをやると P(A)で”sup{α∣aα is defined}”の相当する部分が どうなるかが問題となる 同じように考えると、P(A)の冪集合P(P(A))を考えるべしとなって 繰返しが起きる。これはまずい 集合Aの整列順序のために、べき集合P(A)の整列順序を考えるべき そうすると、そのまた冪集合P(P(A))を考えるべき・・ と無限後退してしまう それ、面白すぎじゃね? だから、A自身の整列可能性と Aの冪集合P(A)の整列可能性は、切り離すのが良さそうだね そういう結論ですなw http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/604
606: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/25(土) 20:04:24.66 ID:vKwDmbNO >>604 補足 >3)sup{α∣aα is defined}の部分は、集合Aの濃度から決まる上限 Aの冪集合P(A)の濃度を超えないので 証明が終わる■ 1)集合の濃度については、下記のja.wikipediaの通り 2)つまり、集合の濃度の割り当てには ノイマン流(選択公理を仮定する)と スコットのトリック(選択公理なしで、正則性公理を使う) がある (これで「集合の濃度から、順序数の上限が決まる」) 3)いま、>>604のように、選択公理→整列可能定理の証明だけ 考えるならば ノイマン流でも可だが 逆の整列可能定理→選択公理 において 「集合の濃度から、順序数の上限が決まる」に、選択公理が必要だとなると 循環論法の可能性がある*注 4)スコットのトリック(選択公理なしで、正則性公理を使う) ならば、「集合の濃度から、順序数の上限が決まる」として 整列可能定理→選択公理の証明に使っても 問題なし■ *注:『集合族の和集合において、その濃度が決まり、順序数の上限が決まる』とする部分が 必要であるならば スコットのトリックを使う方がスマート (参考) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BF%83%E5%BA%A6_(%E6%95%B0%E5%AD%A6) 濃度 (数学) 濃度(英: cardinality カーディナリティ)とは、有限集合における「元の個数」を一般の集合に拡張したものである[1]。集合の濃度は基数 (cardinal number) と呼ばれる数によって表される。歴史的には、カントールにより初めて無限集合のサイズが一つではないことが見出された[2][3]。 厳密な定義 (カントールによって暗に、フレーゲやプリンキピア・マテマティカにおいて明確に示されていた)集合 X の濃度の最も古い定義は、X と一対一対応のつくすべての集合からなるクラス [X] としての定義である。これは、ZFCや関連する集合論の公理系ではうまく機能しない。それは、X が空でないならば、一対一対応のつくすべての集合を集めたものは集合にしては大きすぎるからである。実際、X を空でない集合としたとき、集合 S に {S} × X を対応させる写像を考えることによって、宇宙から [X] への単射が存在し、サイズの限界(英語版)より、[X] は真のクラスである。 フォン・ノイマンの割り当て 選択公理を仮定すると集合 X に対し濃度 | X | を | X | := min{α ∈ ON : |α| = | X | } と定義できる 。 これをフォン・ノイマンの割り当てという。 スコットのトリック 正則性公理の元、任意のクラスに対し画一的に(そのクラスの部分クラスとなる)集合を割り当てる方法であるスコットのトリックを使うと、 整列可能とは限らない集合 X に濃度 | X | を以下のように割り当てることができる(詳しくはスコットのトリックを参照)。 | X | := {A : | A | = | X | かつ、任意の集合 B に対し「| B | = | X | → rank( A) ≤ rank( B)} 」 どのような定義を採用するにしろ集合の濃度が等しいのは、それらの間に全単射が構成できるちょうどそのときである。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/606
612: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/01/25(土) 23:26:07.16 ID:vKwDmbNO ”<公開処刑 続く> (『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか?』に向けて と (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてww ;p) rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” >>606 補足 (引用開始) 2)つまり、集合の濃度の割り当てには ノイマン流(選択公理を仮定する)と スコットのトリック(選択公理なしで、正則性公理を使う) がある (これで「集合の濃度から、順序数の上限が決まる」) (引用終り) 補足しておく 1)いま、簡単に自然数N={0,1,2,3,4,・・・}を整列させるとき 一番単純には、0,1,2,3,4,・・・ と 普通の大小の順にすれば良い このとき、列長さはωになる ところが、0,2,4,・・・,1,3,5,・・・ と 偶数を先にして、奇数をその後にすれば、列長さはω+ω=ω・2 になる もし、mod m m>2 で同じようにすると、列長さはω・m になる 2)そして、mはいくらでも増やせるが、いくら増やしても 最小の非可算順序数 ω1(=アレフ・ワン ℵ1)を超えることはできない 到達することもない 3)自然数Nの冪集合P(N)=2^N の濃度は、アレフ・ワン ℵ1である (自然数Nの濃度は、アレフ・ゼロℵ0) これを一般化すると、無限集合Aがなんらかのアレフ number であったとして それを、整列させるやり方は、上記の自然数Nの例示と同様に、一つではなく また、整列の長さも異なるが、その列の長さは 一つ上の アレフ numberを超えることはない 到達することもない■ (参考) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E9%9B%86%E5%90%88 冪集合 冪集合の濃度 冪集合の濃度は元の集合の濃度より常に大きい(カントールの定理)。有限集合のときにはこれは自明である。一般の場合は、カントールの対角線論法によって示される。 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AC%E3%83%95%E6%95%B0 アレフ数(英: aleph number)は無限集合の濃度(あるいは大きさ)を表現するために使われる順序数のクラスである。 自然数全体の集合の濃度はアレフ・ノート ℵ0(aleph-naught; アレフ・ヌル (aleph-null) あるいはアレフ・ゼロ (aleph-zero) とも)であり、それより一段階大きい濃度がアレフ・ワン ℵ1, 次はアレフ・ツー ℵ2 と以下同様に続く。このように続けて、すべての順序数 α に対して以下に述べられるように一般のアレフ数となる濃度 ℵα を定義することができる。 ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 極限順序数 任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω 順序数に関するフォンノイマンの定義(英語版)を用いれば、任意の順序数はそれより小さい順序数全体の成す整列集合として与えられる。このとき、空でない順序数の集合が最大元を持たないならば、その和集合は常に極限順序数になる[1]。フォンノイマン基数割り当て(英語版)を用いれば、任意の無限基数もまた極限順序数となる。 可算順序数を超えて、最小の非可算順序数 ω1 は、これもまた極限順序数となる。同様に推し進めれば、以下のような系列(以下の列では項を追うごとに濃度も増大する): ω2,ω3,…,ωω,ωω+1,…,ωωω,… が得られる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/612
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