ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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242: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/13(月) 19:40:45.83 ID:xSRlEtRO

>>239
(引用開始)
5. R is a Lindel¨ of space,
6. Q is a Lindel¨ of space,
7. N is a Lindel¨ of space,
(引用終り)

1）リンデレフ空間 までしか言えてない　；ｐ）
2）Rだと、Compact space なのだが・・、下記 Compact space
　Metric spaces の項 で、”For any metric space (X, d), the following are equivalent (assuming countable choice)”
　とあって、
”3.(X, d) is sequentially compact; that is, every sequence in X has a convergent subsequence whose limit is in X (this is also equivalent to compactness for first-countable uniform spaces).
　4.(X, d) is limit point compact (also called weakly countably compact); that is, every infinite subset of X has at least one limit point in X.”　か・・
3）とすると、(assuming countable choice) ならば、>>239より
　”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,”
　だから、不足しているのは Rが ”Metric” であることだが。”Rが Metric”をいうには、countable choice だけでは 不足なのかな？

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Lindel%C3%B6f_space
Lindelöf space
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%AC%E3%83%95%E7%A9%BA%E9%96%93
リンデレフ空間（英: Lindelöf space; リンデレーフ空間）は、任意の開被覆が可算部分被覆を持つような位相空間である。リンデレフ性は、有限部分被覆の存在を要求するコンパクト性の概念を弱めたものである。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/242

250: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/13(月) 23:59:44.83 ID:xSRlEtRO

>>242
(引用開始)
3）とすると、(assuming countable choice) ならば、>>239より
　”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,”
　だから、不足しているのは Rが ”Metric” であることだが。”Rが Metric”をいうには、countable choice だけでは 不足なのかな？
(引用終り)

下記 Construction of the real numbers の
Construction from Cauchy sequences で
metric spaces として completion（完備）までやっているが、どの選択公理を使うかの記述がない
”axiom of dependent choice”だと思うのだが・・ （＾＾

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers
Construction of the real numbers
Explicit constructions of models

Construction from Cauchy sequences
A standard procedure to force all Cauchy sequences in a metric space to converge is adding new points to the metric space in a process called completion.
R is defined as the completion of the set
Q of the rational numbers with respect to the metric |x − y| Normally, metrics are defined with real numbers as values, but this does not make the construction/definition circular, since all numbers that are implied (even implicitly) are rational numbers.[5]

An advantage of constructing
R as the completion of
Q is that this construction can be used for every other metric spaces.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/250

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