[過去ﾛｸﾞ] 【無限小】柄谷行人を解体する80【偏微分∂】 (1002ﾚｽ)
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910: [age] 2024/11/28(木)15:45 ID:0(910/1000) AAS
ε-N論法の考え方
数列{a_n}が、ある実数αに収束するとは、以下のことが成り立つことを意味します。
* 任意の正の数εに対して、
* ある自然数Nが存在して、
* nがNより大きいすべての自然数nに対して、|a_n - α| < εが成り立つ
911: [age] 2024/11/28(木)15:46 ID:0(911/1000) AAS
言葉で説明すると:
どんなに小さな正の数εをとっても、あるところから先は、数列の項a_nがαからεよりも離れることがない、ということです。つまり、nが大きくなるにつれて、a_nはαにどんどん近づいていき、最終的にはいくらでも近づけることを意味します。
εとNの意味
* ε (イプシロン): αからのずれの許容範囲を表します。εを小さくすればするほど、a_nがαに非常に近いことを意味します。
* N: εに対応する自然数です。Nより大きなすべてのnに対して、a_nがαからεよりも離れないことを保証します。
912: [age] 2024/11/28(木)15:47 ID:0(912/1000) AAS
ε-N論法の例
例えば、数列{1/n}が0に収束することをε-N論法で証明してみましょう。
* 任意の正の数εに対して、
* N = 1/ε とする。
* n > N のとき、|1/n - 0| = 1/n < 1/N = ε
したがって、任意のεに対して、Nを適切に選ぶことで、|1/n - 0| < εが成り立つことが示されました。よって、数列{1/n}は0に収束します。
ε-N論法のまとめ
ε-N論法は、数列の極限を厳密に定義するための強力なツールです。一見複雑に見えるかもしれませんが、その本質は、数列の項がある値にどれだけ近づくかを、εとNという2つの量を使って定量的に表現しているということです。
913: 2024/11/28(木)15:47 ID:0(913/1000) AAS
AA省
914: 2024/11/28(木)15:50 ID:0(914/1000) AAS
AA省
915: [age] 2024/11/29(金)11:51 ID:0(915/1000) AAS
√2 (= 1.4142135623730951)という無理数を連分数で表現すると、
√2 ≈ 1 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1/2)))))))
≈ 1 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (17/12)))))))
≈ 1 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + 12/17))))))
≈ ...
≈ 1.41421356237 （計算機による近似値）
となり、連分数の中に繰り返し1/2が出現するような構造をしている。
これは面白く感じられる。なぜなら、√2は無理数なので小数部分が
.4142135623730951......のようになって循環していないにも関わらず、
連分数表記にすると、こうした1/2が規則的に出現してくるからである
916(1): [age] 2024/11/29(金)11:53 ID:0(916/1000) AAS
つまり、無理数の√2を連分数展開すると、どこまでも1/2が循環的に
無限に出現するのである。連分数表記は、値の小数部分に、１÷小数部分
の計算を繰り返して、それを連分数としてつなげていくだけである。
小数部分がなくなって整数部分だけになったとき、そこで計算は終わりである。
無理数は小数部分が非循環的に無限に続くので、上記の√2のように、
いつまでも整数部分だけにならないので、無限に除算の計算が続くことになる。
それは、以下のような感じになる
1 / 0.4142135623730951 = 2.414213562373095
↓ 1 / 0.4142135623730951 = 2.414213562373095
↓ 1 / 0.4142135623730951 = 2.414213562373095
省4
917(1): [age] 2024/11/29(金)11:53 ID:0(917/1000) AAS
この同じ除算がずっと続き、この左辺の整数部分に1, 右辺の整数部分に
2が繰り返し出現するので、これを連分数で表記すると1/2が連分数と
して無限に続く構造が現れるのである。つまり、それが以下である
√2 ≈ 1 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1/2)))))))
≈ 1 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (17/12)))))))
≈ 1 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + 12/17))))))
≈ ...
≈ 1.41421356237 （計算機による近似値）
918: [age] 2024/11/29(金)11:54 ID:0(918/1000) AAS
このように、√2は、有理数1/2の連分数展開で有理数の数列や級数のような
形で表せるので、コーシー列であるといえる。だが、この有理数の数列は、
完備ではない。なぜなら、有理数の集合ℚや有理数の空間の中に、有理数で
はない無理数の収束値√2が出現してしまっているからである。完備性の
定義は、数や元が、同じ集合や同じ(距離)空間内にあることが完備の条件
だからである。そのため有理数は完備ではない。それに対し、実数や
複素数の集合や空間は完備であると言える。その他にも、バナッハ空間や
ヒルベルト空間も完備となる
・バナッハ空間: 完備なノルム空間のことをバナッハ空間と言う
・ヒルベルト空間: 完備な内積空間のことをヒルベルト空間と言う
919: 2024/11/29(金)13:08 ID:0(919/1000) AAS
>>917
ここの√2の連分数展開の中に、1/2以外の17/12 と 12/17
が1個ずつ出現しているのが地味に気になったので、これを
考えてみよう。連分数は連分数で展開したあと、これを
逆向きにリバースしていき、最終的に一つの有理数に
まとめられるので、17/12と12/17はどこかでそうしたリバース
をしたときの途中で出現した値だと考えられる。
そこで、一応計算してみると、
17/12 ≈ 1.4166666666666667 は√2(= 1.4142135623730951.....)の近似
12/17 ≈ 0.7058823529411765 …(*)は1/√2の近似
省8
920: 2024/11/29(金)13:21 ID:0(920/1000) AAS
私 : 1 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1/2)))))))
この連分数の計算結果は、最終的にどんな有理数になりますか
AI回答 : この連分数は:
分数(有理数)では 577/408
小数では約 1.4142156862745098となります。
これは√2 ≈ 1.4142135623730951 の非常に良い近似になっています。
誤差は約0.0000021239014147で、0.00015%程度の誤差です。
このように、連分数展開を有限の項で打ち切ることで、√2の良い有理数近似が
得られることが分かります。577/408という分数(有理数)は、分母と分子の
大きさの割に非常に精度の高い近似を与えてくれています。
921: 2024/11/29(金)16:48 ID:0(921/1000) AAS
大瀧詠一の音楽の分母だか分子はどうなの
922: 2024/11/29(金)17:51 ID:0(922/1000) AAS
AA省
923: 2024/11/29(金)17:52 ID:0(923/1000) AAS
取手の倉庫でおかまが待ってるよ
924: 2024/11/29(金)23:56 ID:0(924/1000) AAS
日立電線に陸上の選手がいたような
925: 2024/11/29(金)23:59 ID:0(925/1000) AAS
霞ヶ浦におかまの死体が浮かんでいた。
926: 2024/11/30(土)16:38 ID:0(926/1000) AAS
AA省
927(1): 警備員[Lv.39][苗] 2024/11/30(土)16:48 ID:0(927/1000) AAS
馬鹿かお前ｗ
アリがライオンを殺せるかｗ
928: 2024/11/30(土)16:50 ID:0(928/1000) AAS
誰がライオン？ 馬鹿かｺﾞｷﾌﾞﾘｗｗｗｗ
929: 2024/11/30(土)16:51 ID:0(929/1000) AAS
汚辱に塗れたジャネットの生
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