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486: Anonymous (ﾜｯﾁｮｲ 8b93-ZAEI) [sage] 2024/03/20(水) 02:20:58.47 ID:b2waoZ+Y0

>>481
ChatGPTはかしこいなあ

まず、玉Aと玉Bの和集合の体積を求める方法を考えます。

玉Aは原点Oを中心とする半径1の球であり、玉Bは点P(r,0,0)を中心とする半径1の球です。

玉Aの体積は球の体積の公式を用いて求めることができます：
\[V_A = \frac{4}{3}\pi r^3\]

玉Bの体積も同様に球の体積の公式を用いて求めますが、玉Bは点Pを中心とする球なので、原点Oを中心とする球の一部です。玉Bの体積は、点Pから原点Oまでの距離が1より大きい場合と、1以下の場合に分けて考える必要があります。

まず、点Pから原点Oまでの距離が1より大きい場合、玉Bは完全に玉Aの中に含まれます。この場合、玉Aと玉Bの和集合の体積は玉Aの体積と等しくなります。

次に、点Pから原点Oまでの距離が1以下の場合、玉Bは玉Aの外側にある部分があります。この場合、玉Aと玉Bの和集合の体積は玉Aの体積に玉Bの体積を加えることで求めることができます。

点Pから原点Oまでの距離は、原点Oから点Pのベクトルの長さであるので、点Pの座標 (r,0,0) を使って計算すると、
\[|OP| = \sqrt{r^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{r^2} = |r|\]

したがって、点Pから原点Oまでの距離は|r|です。

よって、玉Aと玉Bの和集合の体積Vは次のようになります。

\[V = \begin{cases} V_A & \text{if } |r| > 1 \\ V_A + V_B & \text{if } |r| \leq 1 \end{cases}\]

ここで、\(V_B\)は玉Bの体積です。

そして、\(V_B\)は球の体積の公式を用いて求めることができます：
\[V_B = \frac{4}{3}\pi(1^3) = \frac{4}{3}\pi\]

したがって、\(V_B = \frac{4}{3}\pi\)です。

以上の情報を元に、\(V = 8\)のときの\(r\)の値を求めます。

まず、\(V = 8\)の場合において、\(|r| > 1\)であるか、\( |r| \leq 1\)であるかを考えます。

1. \(|r| > 1\)の場合：
\[V = V_A = \frac{4}{3}\pi r^3 = 8\]
よって、\[r^3 = \frac{8}{\frac{4}{3}\pi} = \frac{6}{\pi}\]
したがって、\[r = \sqrt[3]{\frac{6}{\pi}}\]

2. \(|r| \leq 1\)の場合：
\[V = V_A + V_B = \frac{4}{3}\pi r^3 + \frac{4}{3}\pi = 8\]
よって、\[\frac{4}{3}\pi r^3 + \frac{4}{3}\pi = 8\]
\[\frac{4}{3}\pi r^3 = 8 - \frac{4}{3}\pi\]
\[r^3 = \frac{8 - \frac{4}{3}\pi}{\frac{4}{3}\pi}\]
\[r = \sqrt[3]{\frac{8 - \frac{4}{3}\pi}{\frac{4}{3}\pi}}\]

これで、\(V = 8\)のときの\(r\)の値が求まりました。

http://krsw.5ch.net/test/read.cgi/steam/1689681637/486

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