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ワンピース強さ議論と雑談スレ701 (1002ﾚｽ)
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69
: 2018/04/16(月)23:52
ID:FAAx/VZ5(4/4)
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69: [sage] 2018/04/16(月) 23:52:22 ID:FAAx/VZ5 因数分解（いんすうぶんかい、英: factorization）は（数、多項式、行列といったような、積の定義される）代数的対象を、（それらを掛け合わせると元に戻る）別の対象、 つまり因数 (factor) の積に分解することである。たとえば、15 という数は 3 × 5 という因数の積に分解され、多項式 x2 − 4 は (x − 2)(x + 2) という因数の積に 分解される。このようにより単純な対象の積になっている。 因数分解の反対は、因数を掛け合わせてもとの展開された対象を得る過程であるところの、展開である。 因数分解の目的はふつう、何らかのものを（自然数ならば素数、多項式ならば既約多項式といったような）「基本的な構成要素」に帰着させることである。 1でない自然数が素数の積で表せることは算術の基本定理で、定数でない一変数複素係数多項式が一次式の積で表せることは代数学の基本定理で保障されている。 ヴィエタの公式は多項式の根と係数の関係を記述するものである。 巨大整数の素因数分解は困難な問題で、これを一般に短時間に行う方法は知られていない。 この複雑性はRSA暗号のような公開鍵暗号によるセキュリティの信頼性の基礎になっている。 行列も（応用に際して利用しやすい）特別な種類の行列の積に分解することができる。よく用いられるのはたとえば、直交行列やユニタリ行列あるいは三角行列などである。 ほかに、QR, LQ, QL, RQ, RZ のような分解が知られる。 他の例としては、写像を特定の性質を持つ写像の合成の形に分解することが挙げられる。たとえば、任意の写像は全射と単射の合成と見ることができる。 これはfactorization system（英語版）によって一般化される。 整数の因数分解編集 (x − α)(x − β) = x2 − (α + β)x + αβ という展開を逆向きに使う。x の項の係数と定数項から2数を見つける方法である。根と係数の関係を参照。 例として x2 − 5x + 6 を因数分解することを考える。x の項の係数が −5 で定数項が 6 なので、和が 5 で積が 6 となる2数を探す。 2 と 3 であることが分かるので、x2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) という因数分解の結果を得る。 たすきがけ編集 2次式を因数分解するときに用いられる、たすきがけとよばれる方法がある。途中計算に引くバツ印の線をたすきの背中側から見た姿になぞらえた名前である。 x2 の項の係数の正の約数と定数項の約数を組み合わせて x の項の係数を作る。 たとえば 6x2 + x − 2 を因数分解することを考える。x2 の項の係数 6 の正の約数と定数項 −2 の約数の組み合わせのうち、次のような組み合わせを選ぶ。 この計算で得られた 4 と −3 の和が x の項の係数1と等しいので、× の上の行の数 3 と 2 を使って 3x + 2 という式と作り 、同様に下の行の数 2 と −1 を使って 2x − 1 という式を作る。このとき、 元の式 6x2 + x − 2 はこの2つの式をかけ合わせることで求められるので、6x2 + x − 2 = (3x + 2)(2x − 1) という因数分解の結果を得る。 因数定理を利用する。すなわち f(x) の値を 0 にする x の値（根）を見つける。f(α) = 0 となったとすれば、x − α が f(x) の因数の1つである。 たとえば 2x4 − 5x3 − 8x2 + 17x − 6 を因数分解することを考える。この式に x = 1 を代入すると 0 となるので、x − 1 が因数の1つであることが分かる。 元の式を x − 1 で除算して、2x4 − 5x3 − 8x2 + 17x − 6 = (x − 1)(2x3 − 3x2 − 11x + 6) となる。 http://matsuri.5ch.net/test/read.cgi/wcomic/1523856409/69
因数分解いんすうぶんかい英は数多項式行列といったような積の定義される代数的対象をそれらを掛け合わせると元に戻る別の対象 つまり因数の積に分解することであるたとえば という数は という因数の積に分解され多項式 は という因数の積に 分解されるこのようにより単純な対象の積になっている 因数分解の反対は因数を掛け合わせてもとの展開された対象を得る過程であるところの展開である 因数分解の目的はふつう何らかのものを自然数ならば素数多項式ならば既約多項式といったような基本的な構成要素に帰着させることである でない自然数が素数の積で表せることは算術の基本定理で定数でない一変数複素係数多項式が一次式の積で表せることは代数学の基本定理で保障されている ヴィエタの公式は多項式の根と係数の関係を記述するものである 巨大整数の素因数分解は困難な問題でこれを一般に短時間に行う方法は知られていない この複雑性は暗号のような公開鍵暗号によるセキュリティの信頼性の基礎になっている 行列も応用に際して利用しやすい特別な種類の行列の積に分解することができるよく用いられるのはたとえば直交行列やユニタリ行列あるいは三角行列などである ほかにのような分解が知られる 他の例としては写像を特定の性質を持つ写像の合成の形に分解することが挙げられるたとえば任意の写像は全射と単射の合成と見ることができる これは 英語版によって一般化される 整数の因数分解編集 という展開を逆向きに使うの項の係数と定数項から数を見つける方法である根と係数の関係を参照 例として を因数分解することを考えるの項の係数が で定数項が なので和が で積が となる数を探す と であることが分かるので という因数分解の結果を得る たすきがけ編集 次式を因数分解するときに用いられるたすきがけとよばれる方法がある途中計算に引くバツ印の線をたすきの背中側から見た姿になぞらえた名前である の項の係数の正の約数と定数項の約数を組み合わせての項の係数を作る たとえば を因数分解することを考えるの項の係数 の正の約数と定数項 の約数の組み合わせのうち次のような組み合わせを選ぶ この計算で得られた と の和がの項の係数と等しいので の上の行の数 と を使って という式と作り 同様に下の行の数 と を使って という式を作るこのとき 元の式 はこのつの式をかけ合わせることで求められるので という因数分解の結果を得る 因数定理を利用するすなわち の値を にするの値根を見つける となったとすれば が の因数のつである たとえば を因数分解することを考えるこの式に を代入すると となるので が因数のつであることが分かる 元の式を で除算して となる
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