ワンピース強さ議論と雑談スレ706

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430: 名無しさんの次レスにご期待下さい (ﾜｯﾁｮｲ 2609-SHeo) [] 2018/05/31(木) 22:56:23.97 ID:K5dfPHlH0

とは、平面三角法における、角の大きさと線分の長さの関係を記述する関数の族および、それらを拡張して得られる関数の総称である。
三角関数という呼び名は三角法に由来するもので、後述する単位円を用いた定義に由来する呼び名として、円関数（えんかんすう、英:&#160;circular function）
と呼ばれることがある。

三角関数には以下の6つがある。

sin（正弦、sine）sec（正割、secant）tan（正接、tangent）cos（余弦、cosine）csc（余割、cosecant）cot（余接、cotangent）

特に&#160;sin, cos&#160;は幾何学的にも解析学的にも良い性質を持っているので、様々な分野で用いられる。
例えば波や電気信号などは正弦関数と余弦関数を組み合わせることで表現することができる。この事実はフーリエ級数お
よびフーリエ変換の理論として知られ、音声などの信号の合成や解析の手段として利用されている。他にもベクトルの外
積や内積は正弦関数および余弦関数を用いて表すことができ、ベクトルを図形に対応づけることができる。初等的には、
三角関数は実数を変数とする一変数関数として定義される。三角関数の変数の対応するものとしては、図形のなす角度や
、物体の回転角、波や信号のような周期的なものに対する位相などが挙げられる。

三角関数に用いられる独特な記法として、三角関数の累乗と逆関数に関するものがある。通常、関数&#160;f&#8201;(x)&#160;の累乗
は&#160;(f&#8201;(x))2&#160;=&#160;f&#8201;(x)・f&#8201;(x)&#160;や&#160;(f&#8201;(x))&#8722;1&#160;= 1&#8201;/&#8201;f&#8201;(x)&#160;のように書くが、三角関数の累乗は&#160;sin2x&#160;のように書かれることが多い。逆関数については通常の記法 (
f&#8201;&#8722;1(x)) と同じく、sin&#8722;1x&#160;などと表す（この文脈では従って、三角関数の逆数は分数を用いて&#160;1sin&#8201;x&#160;のように、あるいは&#160;(sin&#160;x)&#8722;1&#160;などと表される）。
文献あるいは著者によっては、通常の記法と三角関数に対する特殊な記法との混同を避けるため、三角関数の累乗を通常の関数と同様にすることがある。
また、三角関数の逆関数として&#160;&#8722;1&#160;と添え字する代わりに関数の頭に&#160;arc&#160;とつけることがある（たとえば&#160;sin&#160;の逆関数として&#160;sin&#8722;1&#160;の代わりに&#160;
arcsin&#160;を用いる）。

三角関数に似た性質を持つ関数として、指数関数や双曲線関数、ベッセル関数などがある。また、
三角関数を利用して定義される関数としてしばしば応用されるものにsinc関数がある。

定義編集

直角三角形による定義編集

∠C&#160;を直角とする直角三角形ABC

直角三角形において、1 つの鋭角の大きさが決まれば、三角形の内角の和は&#160;180°であることから他の 1 つの鋭角の大きさも決まり、3 辺の比も決まる。
ゆえに、角度に対して辺比の値を与える関数を考えることができる。

∠C&#160;を直角とする直角三角形 ABC において、それぞれの辺の長さを&#160;AB =&#160;h, BC =&#160;a, CA =&#160;b&#160;と表す（図を参照）。
∠A =&#160;θ&#160;に対して三角形の辺の比&#160;h&#160;:&#160;a&#160;:&#160;b&#160;が決まることから、

{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &={a}/{h}\\\sec

という 6 つの値が定まる。それぞれ正弦（sine;&#160;サイン）、正割（secant;&#160;セカント）、正接（tangent;&#160;タンジェント）、余弦（cosine;&#160;コサイン）
、余割（cosecant;&#160;コセカント）、余接（cotangent;&#160;コタンジェント
）と呼び、まとめて三角比と呼ばれる。ただし&#160;cosec&#160;は長いので&#160;csc&#160;と略記することも多い。
ある角&#160;∠A&#160;に対する余弦、余割、余接はその角&#160;∠A&#160;の余角&#160;(co-angle)&#160;に対する正弦、正割、正接として定義される。
{\displaystyle {\begin{ali \right)=\tan(\pi /2-\theta )\end{aligned}}
三角比は平面三角法に用いられ、巨大な物の大きさや遠方までの距離を計算する際の便利な道具となる。角度&#160;θ&#160;の単位は、通常度またはラジアンである。

http://matsuri.5ch.net/test/read.cgi/wcomic/1527528609/430

432: 名無しさんの次レスにご期待下さい (CA) [] 2018/05/31(木) 22:58:02.54 ID:ZW/oj4FIH

素数が無数に存在することは既に古代ギリシア時代から知られていて、ユークリッドが彼の著作『原論』の中で証明している。

ユークリッドによる証明編集『原論』第9巻 命題20素数の個数はいかなる定められた素数の個数よりも多い。
定められた個数の素数を&#160;p1,&#160;p2, …,&#160;pn&#160;とせよ。p1,&#160;p2, …,&#160;pn&#160;より多い個数の素数があると主張する。
『原論』による証明[注釈 1]定められた素数の個数が&#160;
n&#160;個であるとき、n&#160;個の素数を小さい順番にならべて&#160;i&#160;番目の素数を&#160;pi&#160;とする。1 <&#160;p1&#160;<&#160;p2&#160;< … <&#160;pn.このとき、
n&#160;個の素数をすべて掛け合わせた数に&#160;1&#160;を加えた数を&#160;q&#160;とすると、q&#160;=&#160;p1&#160;×&#160;p2&#160;× … ×&#160;pn&#160;+ 1.q&#160;は有限個の自然数の積に&#160;
1&#160;を加えた数なので&#160;1&#160;より大きい自然数である。ゆえに、q&#160;は素数または合成数のどちらかである。q&#160;が素数のとき、
q&#160;は最大の素数&#160;pn&#160;より大きい素数になるので、
定められた個数の素数よりも多くの素数が存在する。q&#160;が合成数のとき、q&#160;を割り切る素数が存在する。
いっぽう、q&#160;の定義より、すべての&#160;piで割った余りは&#160;1&#160;になるので、q&#160;はすべての&#160;
pi&#160;で割り切れない。したがって、すべての&#160;pi以外に素数が存在する。すなわち、定められた個数の素数よりも多くの素数が存在する。（証明終）
例自然数の有限集合&#160;A&#160;の全ての要素を掛け合わせた自然数を&#160;f(A)&#160;とする。
定められた個数の素数から成る集合を&#160;A3&#160;= {2, 3, 5}&#160;とするとき、
f(A3) = 2 × 3 × 5 + 1 = 31&#160;は素数なので、新しい素数&#160;31&#160;が得られる。
したがって、定められた個数より多くの素数が存在する。
定められた個数の素数から成る集合を&#160;A4&#160;= {2, 3, 5, 31}&#160;とするとき、
f(A4) = 2 × 3 × 5 × 31 + 1 = 931 = 7 × 7 × 19&#160;なので、新しい素数&#160;7&#160;と&#160;19&#160;が得られる。

したがって、定められた個数より多くの素数が存在する。他の証明編集
上記のユークリッドによる証明以外にも、素数が無数に存在することの証明方法が存在する。
素数の逆数の和が発散することを利用した証明（#素数の逆数和を参照）2つの異なるフェルマー数が互いに素であることを利用した証明
]整数の集合に、等差数列の族を開基とする位相を入れる証明n&#160;&#8805; 2&#160;に対して、
n(n&#160;+ 1)&#160;は少なくとも相異なる2個の素因数を持つことを利用した証明。
おそらく最も短い証明
素数の逆数の和は（無限大に）発散する。この命題は『素数は無数に存在する』という命題を含んでいる
（有限個ならば収束、すなわち発散しないはずである）が、
それだけではなく素数の分布に関してより多くの情報を提供している。
この結果は最初にレオンハルト・オイラーによりゼータ関数を研究することでもたらされた
。以下の証明はポール・エルデシュによる、
より直接的で、また簡潔な証明である。素数が無数に存在することを証明に用いないため、その証明をも含んでいる。

http://matsuri.5ch.net/test/read.cgi/wcomic/1527528609/432

434: 名無しさんの次レスにご期待下さい (ﾜｯﾁｮｲ d120-PoXP) [] 2018/05/31(木) 22:59:32.91 ID:ZW/oj4FI0

素数が無数に存在することは既に古代ギリシア時代から知られていて、ユークリッドが彼の著作『原論』の中で証明している。

http://matsuri.5ch.net/test/read.cgi/wcomic/1527528609/434

449: 名無しさんの次レスにご期待下さい (CA) [] 2018/06/01(金) 03:51:09.30 ID:A1HH4DRKH

>>436-446
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