ワンピース強さ議論と雑談スレ706

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432: 名無しさんの次レスにご期待下さい (CA) [] 2018/05/31(木) 22:58:02.54 ID:ZW/oj4FIH

素数が無数に存在することは既に古代ギリシア時代から知られていて、ユークリッドが彼の著作『原論』の中で証明している。

ユークリッドによる証明編集『原論』第9巻 命題20素数の個数はいかなる定められた素数の個数よりも多い。
定められた個数の素数を&#160;p1,&#160;p2, …,&#160;pn&#160;とせよ。p1,&#160;p2, …,&#160;pn&#160;より多い個数の素数があると主張する。
『原論』による証明[注釈 1]定められた素数の個数が&#160;
n&#160;個であるとき、n&#160;個の素数を小さい順番にならべて&#160;i&#160;番目の素数を&#160;pi&#160;とする。1 <&#160;p1&#160;<&#160;p2&#160;< … <&#160;pn.このとき、
n&#160;個の素数をすべて掛け合わせた数に&#160;1&#160;を加えた数を&#160;q&#160;とすると、q&#160;=&#160;p1&#160;×&#160;p2&#160;× … ×&#160;pn&#160;+ 1.q&#160;は有限個の自然数の積に&#160;
1&#160;を加えた数なので&#160;1&#160;より大きい自然数である。ゆえに、q&#160;は素数または合成数のどちらかである。q&#160;が素数のとき、
q&#160;は最大の素数&#160;pn&#160;より大きい素数になるので、
定められた個数の素数よりも多くの素数が存在する。q&#160;が合成数のとき、q&#160;を割り切る素数が存在する。
いっぽう、q&#160;の定義より、すべての&#160;piで割った余りは&#160;1&#160;になるので、q&#160;はすべての&#160;
pi&#160;で割り切れない。したがって、すべての&#160;pi以外に素数が存在する。すなわち、定められた個数の素数よりも多くの素数が存在する。（証明終）
例自然数の有限集合&#160;A&#160;の全ての要素を掛け合わせた自然数を&#160;f(A)&#160;とする。
定められた個数の素数から成る集合を&#160;A3&#160;= {2, 3, 5}&#160;とするとき、
f(A3) = 2 × 3 × 5 + 1 = 31&#160;は素数なので、新しい素数&#160;31&#160;が得られる。
したがって、定められた個数より多くの素数が存在する。
定められた個数の素数から成る集合を&#160;A4&#160;= {2, 3, 5, 31}&#160;とするとき、
f(A4) = 2 × 3 × 5 × 31 + 1 = 931 = 7 × 7 × 19&#160;なので、新しい素数&#160;7&#160;と&#160;19&#160;が得られる。

したがって、定められた個数より多くの素数が存在する。他の証明編集
上記のユークリッドによる証明以外にも、素数が無数に存在することの証明方法が存在する。
素数の逆数の和が発散することを利用した証明（#素数の逆数和を参照）2つの異なるフェルマー数が互いに素であることを利用した証明
]整数の集合に、等差数列の族を開基とする位相を入れる証明n&#160;&#8805; 2&#160;に対して、
n(n&#160;+ 1)&#160;は少なくとも相異なる2個の素因数を持つことを利用した証明。
おそらく最も短い証明
素数の逆数の和は（無限大に）発散する。この命題は『素数は無数に存在する』という命題を含んでいる
（有限個ならば収束、すなわち発散しないはずである）が、
それだけではなく素数の分布に関してより多くの情報を提供している。
この結果は最初にレオンハルト・オイラーによりゼータ関数を研究することでもたらされた
。以下の証明はポール・エルデシュによる、
より直接的で、また簡潔な証明である。素数が無数に存在することを証明に用いないため、その証明をも含んでいる。

http://matsuri.5ch.net/test/read.cgi/wcomic/1527528609/432

434: 名無しさんの次レスにご期待下さい (ﾜｯﾁｮｲ d120-PoXP) [] 2018/05/31(木) 22:59:32.91 ID:ZW/oj4FI0

素数が無数に存在することは既に古代ギリシア時代から知られていて、ユークリッドが彼の著作『原論』の中で証明している。

http://matsuri.5ch.net/test/read.cgi/wcomic/1527528609/434

449: 名無しさんの次レスにご期待下さい (CA) [] 2018/06/01(金) 03:51:09.30 ID:A1HH4DRKH

>>436-446
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