[過去ﾛｸﾞ] ワンピース強さ議論と雑談スレ706 (1002ﾚｽ)
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66: (ﾜｯﾁｮｲ) 2018/05/30(水)05:53 ID:UvJGDQ+d0(1/3) AAS
665年ごろアイザック・ニュートンは定理を一般化して非整数冪に対する公式（ニュートンの一般二項定理）を得た。
この一般化において、有限和は無限級数で置き換えられなければならない。またこの一般化を行うために二項係数 (n
k) の上の添字 
n を任意の値としなければならないから、二項係数を階乗を用いて表すこともできない。一般化された二項係数を任意の数 r に対して
{\displaystyle {r \choose k}={\frac {r\,(r-1)\cdots (r-k+1)}{k!}}={\frac {(r)_{k}}{k!}}}
で定義する。
右辺の (•)k はポッホハマー記号で、ここでは下方階乗を表す。このとき x, y が |x| > |y| なる実数のとき。r を任意の複素数として
{\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{r}&=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{r-k}y^{k}\\&=x^{r}+rx^{r-1}y+{\frac {r(r-1)}{2!}}x^{r-2}y^{2}+{\frac {r(r-1)(r-2)}{3!}}x^{r-3}y^{3}+\dotsb \end{aligned}}}
が成り立つ。r が非負整数のとき、k > r に対する二項係数は零であるから等式 (2) は等式 (1) に特殊化され、非零項は高々 r + 1 個である。
r がそれ以外の値のときは級数 (2) は（少なくとも x, y が非零のとき）無数の非零項を持つ。
これは無限級数を扱っていてそれを一般化超幾何函数（英語版）で表そうとするときに重要である。
r = −s と置けば有用な等式
{\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{s}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose k}x^{k}\equiv \sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose s-1}x^{k}}
を得る。これをさらに s = 1 と特殊化すれば幾何級数を得る。
注式 (2) は x, y が複素数の場合にも一般化することができる。この場合、|x| > |y|[Notes 1] に加えて、x を中心とする半径 |x| の開円板上で定義されたlogの正則な枝を用いて 
x + y および x の冪を定義しなければならない。式 (2) は x および y がバナッハ代数の元であるときも、
xy = yx かつ x が可逆で || y/x || < 1 である限り成り立つ。
二項定理を二項より多くの項の和の冪に対して一般化することができる。すなわち
{\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}}}
が成り立つ。ここで和は、非負整数列 k1, …, kmでそれらの総和が n に等しいようなもの全体に亙って取る（つまり上記の展開の右辺の式は各項が全次数 n の斉次多項式である）。
この展開の係数 {\displaystyle {\tbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}} は多項係数と呼ばれ。
{\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}}
なる値を持つ。組合せ論的には、多項係数 {\displaystyle {\tbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}} は n-元集合を各位数が k1, …, km となるような互いに素な部分集合へ分割する方法の総数を表す。
多重二項定理編集
二項式の積を扱うために、より次元の高いところでも二項定理はしばしば有用である。二項定理により等式
{\displaystyle (x_{1}+y_{1})^{n_{1}}\dotsm (x_{d}+y_{d})^{n_{d}}=\sum _{k__{d}-k_{d}}}
が成り立つ。この式は多重添字記法を用いれば
{\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}\,x^{\nu }y^{\alpha -\nu }}
とより簡潔に表される。
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