[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第２章 (989ﾚｽ)
上下前次1-新
このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索 歴削→次ｽﾚ 栞削→次ｽﾚ 過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ
392: 2005/08/16(火)07:30 AAS
>>391
ありがとうございます．そのまんまでしたね．
393(1): 2005/08/16(火)10:56 AAS
>>390
> >>1 の参考文献の [1] には載ってないようでした．
読んでいない証拠
夏休みの宿題は質問スレに行け
二度と来るな
394: 390=392 2005/08/16(火)16:29 AAS
>393
初めてなのに釣れたっ！
これからも私の宿題をお願いしますね、電卓さん！
395(2): 2005/08/16(火)18:12 AAS
まあ、工房がシュプリンガー読むわけないわね。
396(2): 2005/08/16(火)23:23 AAS
>>389
見た目は簡単なのに、その証明のなんと難しいことよ。
397(1): 2005/08/17(水)00:26 AAS
>>389
(a^2 + b^2 + c^2)^2 - 3(a^3b + b^3c + c^3a)
= a^2(a-b)(a-2b) + b^2(b-c)(b-2c) + c^2(c-a)(c-2a)
これが0以上であることを示せれば…。
とりあえず a≧b≧c≧0 として、Schurの不等式のときみたいに考えたけど、うまくいかない
不等式オタどもはお盆休みなのか？
398(2): 2005/08/17(水)11:42 AAS
>>35-36
ムーアヘッドの不等式がイマイチよく分かりません。
簡単な不等式の例で説明してもらえると嬉しいです。
399(11): 2005/08/17(水)22:43 AAS
>372(4), 387-388
>>38 の補題を使いますた。>>1 の参考書[1]の定理80.
【補題】
F_n ≡ (a^n)(a-b)(a-c) + (b^n)(b-c)(b-a) +(c^n)(c-a)(c-b)
= (a^n)(a-b)^2 + (a^n -b^n +c^n)(a-b)(b-c) +(c^n)(b-c)^2 ≧0.
(略証) bがa,cの中間にあるとすると、 a^n -b^n +c^n ≧0, (a-b)(b-c)≧0. (終)
(左辺) = (s^3 -3st+6u)^2 = (s^3 -3st+6u)(F_1 +st-3u).
(左辺) -(右辺) = (s^3 -3st+6u)･F_1 -su･F_0 = F_4 + u･F_1 + R.
F_0 = s^2 -3t ≧0, F_1 = s^3 -4st +9u ≧0.
残りの項Rも同様にして
省7
400(5): 2005/08/17(水)23:20 AAS
>>398
例えば 「数学ライブラリー教養篇 不等式入門 POD版」（>>303） P.150 問１(1)
2(a^6) + 2(b^6) + 2(c^6)
≧ (a^4)(b^2) + (a^4)(c^2) + (b^4)(c^2) + (b^4)(a^2) + (c^4)(a^2) + (c^4)(b^2)
≧ (a^3)(b^2)c + (a^3)(c^2)b + (b^3)(c^2)a + (b^3)(a^2)c + (c^3)(a^2)b + (c^3)(b^2)a
≧ 6(a^2)(b^2)(c^2)
[p, q, r] = (a^p)(b^q)(c^r) + (a^p)(c^q)(b^r) + (b^p)(c^q)(a^r) + (b^p)(a^q)(c^r) + (c^p)(a^q)(b^r) + (c^p)(b^q)(a^r)
で表すと、(6, 0, 0) ゝ(4, 2, 0) ゝ(3, 2, 1) ゝ(2, 2, 2) だから、Muirhead の不等式から
[6, 0, 0] ≧ [4, 2, 0] ≧ [3, 2, 1] ≧ (2, 2, 2)
401(5): 2005/08/17(水)23:40 AAS
>>399
ｷﾀｷﾀｷﾀｷﾀ━━━(ﾟ∀ﾟ≡(ﾟ∀ﾟ≡ﾟ∀ﾟ)≡ﾟ∀ﾟ)━━━━!!!!!!!!!!
(4)の右辺にコーシー使ったら(3)になるなんて気づきませんでした ( ﾟ∀ﾟ)！
>>38
F_n ≡ (a^n)(a-b)(a-c) + (b^n)(b-c)(b-a) +(c^n)(c-a)(c-b) ≧ 0 について。
〔Schurの不等式〕
任意の実数 r と、正の数 x, y, z に対して
F_r ≡ (a^r)(a-b)(a-c) + (b^r)(b-c)(b-a) +(c^r)(c-a)(c-b) ≧ 0
証明は、>>1 の参考書[3]のPP.27-28。
402: 2005/08/18(木)06:42 AAS
>399
(左辺) -(右辺) = t･F_2 +(s^3 -3st+4u)･F_1 -su･F_0 = F_4 + u･F_1 + R.
403: 2005/08/18(木)13:37 AAS
>>399
それにしても凄いな！
いま計算を追っているけど、とても自分では思いつかないなぁ…
404(3): 2005/08/20(土)10:16 AAS
>389 396-397
等号成立は [a,b,c]=[1,1,1] または [a,b,c]=[1, t, (1/t)(1-t)^2] のとき（4つ）
ただし、tは (t-2)^3 -7(t-2) -7=0 の根、0.307978528369905…, 0.643104132107791…, 5.04891733952231…。
405: 2005/08/20(土)12:47 AAS
>>404
ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
等号成立条件に変なのが入っているので
（左辺）-（右辺） = A(a-b)^2+B(b-c)^2+C(c-a)^2 ≧ 0
になるとは限らないんでしょうね
('A`)
406(3): 2005/08/22(月)21:39 AAS
>389
a,b,cの基本対称式をs,t,uとする。
(左辺)-(右辺) = (a^2+b^2+c^2)^2 -3(a^3b+b^3c+c^3a)
= (s^2 -2t)^2 +3t^2 -3s(u+a^2b+b^2c+c^2a) ……(1)
これは対称式ぢゃないんですぅ…。そこで、
>404 のゼロ方向(3つ)は1次独立なので、それをX,Y,Z軸とする（斜交軸）。
a=pX+rY+qZ, b=qX+pY+rZ, c=rX+qY+pZ.
これを(1)に代入すると、うまく対称式になりますた。
(左辺)-(右辺) = (1/14){X^2(Y-Z)^2 +Y^2(Z-X)^2 +Z^2(X-Y)^2} ≧0.
等号成立は [X,Y,Z]= [1,1,1], [1,0,0], [0,1,0], [0,0,1] のとき.
省1
407: 2005/08/22(月)21:47 AAS
>406
Q: (a,b,c) ⇔ 反変成分(X,Y,Z) の1次変換
a=pX+rY+qZ, b=qX+pY+rZ, c=rX+qY+pZ.
に出てくる p,q,r って何?
A:〔補足説明〕
・3軸の向き（ゼロ方位）を
X軸: [a,b,c]=[p,q,r]
Y軸: [a,b,c]=[r,p,q]
Z軸: [a,b,c]=[q,r,p]
としますた。
省7
408(1): 2005/08/22(月)22:39 AAS
>>406-406
まず >404 のゼロ方向や、3軸の向き（ゼロ方位）という言葉がよく分かりません。
つぎに [a,b,c]=[p,q,r] これは、何かの演算が等しいってことですか？
409: 406 2005/08/24(水)02:47 AAS
>408
ゼロ方向は、(1変数の)ゼロ点と同じ意味。
[a,b,c]はデカルト座標（3Dグラフを考えますた。）
[1,1,1]方向から見ると、X,Y,Z軸はc,a,b軸から33.6311315…°程ずれている。
これを一致させて対称性を回復する所が本題のミソ。
410: 2005/08/28(日)00:49 AAS
保守あげ
411(1): 2005/08/28(日)19:44 AAS
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問より
2chｽﾚ:math
81 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/08/23(火) 15:59:35
> e^{e^(e-1)-e}<(e-1)^{e^e-e^(e-1)} を示せ。ただし、eは自然対数の底
131 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/08/28(日) 16:27:44
> >>81ってホントに問題あってるの？計算機で計算したらすげー値に開きが
> あるんだけど。こんなに開いてるならスゲーラフな評価でできるとおもうんだけど。
> どっかまちがってんじゃね？
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
あと 578 ﾚｽあります
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ
ぬこの手 ぬこTOP 0.304s*