[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第２章 (989ﾚｽ)
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399(11): 2005/08/17(水)22:43 AAS
>372(4), 387-388

>>38 の補題を使いますた。>>1 の参考書[1]の定理80.
【補題】
　F_n ≡ (a^n)(a-b)(a-c) + (b^n)(b-c)(b-a) +(c^n)(c-a)(c-b)
　= (a^n)(a-b)^2 + (a^n -b^n +c^n)(a-b)(b-c) +(c^n)(b-c)^2 ≧0.
　(略証)　bがa,cの中間にあるとすると、 a^n -b^n +c^n ≧0, (a-b)(b-c)≧0. (終)

　(左辺) = (s^3 -3st+6u)^2 = (s^3 -3st+6u)(F_1 +st-3u).
　(左辺) -(右辺) = (s^3 -3st+6u)･F_1 -su･F_0 = F_4 + u･F_1 + R.
　F_0 = s^2 -3t ≧0,　F_1 = s^3 -4st +9u ≧0.

残りの項Rも同様にして
　R ≡ ab(a^2 +b^2 -c^2)(a-b)^2 +bc(b^2 +c^2 -a^2)(b-c)^2 +ca(c^2 +a^2 -b^2)(c-a)^2
= X(a-b)(a-c) + Y(b-a)(b-c) +Z(c-a)(c-b)
= X(a-b)^2 + (X-Y+Z)(a-b)(b-c) +Z(b-c)^2 ≧0.
　ここに X={(b+c)a^2 +(b-c)(b^2 -c^2)}a≧0, Y={(c+a)b^2 +(c-a)(c^2 -a^2)}b≧0, Z={(a+b)c^2 +(a-b)(a^2-b^2)}c≧0.
　〔∵ bはa,cの中間にあるとすると X-Y+Z =2ac(a^2 -b^2 +c^2) ≧0, (a-b)(b-c)≧0.〕

>372(3)
　(4)の右辺にコーシーを適用。

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