[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第２章 (989ﾚｽ)
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400(5): 2005/08/17(水)23:20 AAS
>>398
例えば 「数学ライブラリー教養篇 不等式入門 POD版」（>>303） P.150 問１(1)
2(a^6) + 2(b^6) + 2(c^6)
≧ (a^4)(b^2) + (a^4)(c^2) + (b^4)(c^2) + (b^4)(a^2) + (c^4)(a^2) + (c^4)(b^2)
≧ (a^3)(b^2)c + (a^3)(c^2)b + (b^3)(c^2)a + (b^3)(a^2)c + (c^3)(a^2)b + (c^3)(b^2)a
≧ 6(a^2)(b^2)(c^2)
[p, q, r] = (a^p)(b^q)(c^r) + (a^p)(c^q)(b^r) + (b^p)(c^q)(a^r) + (b^p)(a^q)(c^r) + (c^p)(a^q)(b^r) + (c^p)(b^q)(a^r)
で表すと、(6, 0, 0) ゝ(4, 2, 0) ゝ(3, 2, 1) ゝ(2, 2, 2) だから、Muirhead の不等式から
[6, 0, 0] ≧ [4, 2, 0] ≧ [3, 2, 1] ≧ (2, 2, 2)
401(5): 2005/08/17(水)23:40 AAS
>>399
ｷﾀｷﾀｷﾀｷﾀ━━━(ﾟ∀ﾟ≡(ﾟ∀ﾟ≡ﾟ∀ﾟ)≡ﾟ∀ﾟ)━━━━!!!!!!!!!!
(4)の右辺にコーシー使ったら(3)になるなんて気づきませんでした ( ﾟ∀ﾟ)！
>>38
F_n ≡ (a^n)(a-b)(a-c) + (b^n)(b-c)(b-a) +(c^n)(c-a)(c-b) ≧ 0 について。
〔Schurの不等式〕
任意の実数 r と、正の数 x, y, z に対して
F_r ≡ (a^r)(a-b)(a-c) + (b^r)(b-c)(b-a) +(c^r)(c-a)(c-b) ≧ 0
証明は、>>1 の参考書[3]のPP.27-28。
402: 2005/08/18(木)06:42 AAS
>399
(左辺) -(右辺) = t･F_2 +(s^3 -3st+4u)･F_1 -su･F_0 = F_4 + u･F_1 + R.
403: 2005/08/18(木)13:37 AAS
>>399
それにしても凄いな！
いま計算を追っているけど、とても自分では思いつかないなぁ…
404(3): 2005/08/20(土)10:16 AAS
>389 396-397
等号成立は [a,b,c]=[1,1,1] または [a,b,c]=[1, t, (1/t)(1-t)^2] のとき（4つ）
ただし、tは (t-2)^3 -7(t-2) -7=0 の根、0.307978528369905…, 0.643104132107791…, 5.04891733952231…。
405: 2005/08/20(土)12:47 AAS
>>404
ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
等号成立条件に変なのが入っているので
（左辺）-（右辺） = A(a-b)^2+B(b-c)^2+C(c-a)^2 ≧ 0
になるとは限らないんでしょうね
('A`)
406(3): 2005/08/22(月)21:39 AAS
>389
a,b,cの基本対称式をs,t,uとする。
(左辺)-(右辺) = (a^2+b^2+c^2)^2 -3(a^3b+b^3c+c^3a)
= (s^2 -2t)^2 +3t^2 -3s(u+a^2b+b^2c+c^2a) ……(1)
これは対称式ぢゃないんですぅ…。そこで、
>404 のゼロ方向(3つ)は1次独立なので、それをX,Y,Z軸とする（斜交軸）。
a=pX+rY+qZ, b=qX+pY+rZ, c=rX+qY+pZ.
これを(1)に代入すると、うまく対称式になりますた。
(左辺)-(右辺) = (1/14){X^2(Y-Z)^2 +Y^2(Z-X)^2 +Z^2(X-Y)^2} ≧0.
等号成立は [X,Y,Z]= [1,1,1], [1,0,0], [0,1,0], [0,0,1] のとき.
省1
407: 2005/08/22(月)21:47 AAS
>406
Q: (a,b,c) ⇔ 反変成分(X,Y,Z) の1次変換
a=pX+rY+qZ, b=qX+pY+rZ, c=rX+qY+pZ.
に出てくる p,q,r って何?
A:〔補足説明〕
・3軸の向き（ゼロ方位）を
X軸: [a,b,c]=[p,q,r]
Y軸: [a,b,c]=[r,p,q]
Z軸: [a,b,c]=[q,r,p]
としますた。
省7
408(1): 2005/08/22(月)22:39 AAS
>>406-406
まず >404 のゼロ方向や、3軸の向き（ゼロ方位）という言葉がよく分かりません。
つぎに [a,b,c]=[p,q,r] これは、何かの演算が等しいってことですか？
409: 406 2005/08/24(水)02:47 AAS
>408
ゼロ方向は、(1変数の)ゼロ点と同じ意味。
[a,b,c]はデカルト座標（3Dグラフを考えますた。）
[1,1,1]方向から見ると、X,Y,Z軸はc,a,b軸から33.6311315…°程ずれている。
これを一致させて対称性を回復する所が本題のミソ。
410: 2005/08/28(日)00:49 AAS
保守あげ
411(1): 2005/08/28(日)19:44 AAS
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問より
2chｽﾚ:math
81 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/08/23(火) 15:59:35
> e^{e^(e-1)-e}<(e-1)^{e^e-e^(e-1)} を示せ。ただし、eは自然対数の底
131 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/08/28(日) 16:27:44
> >>81ってホントに問題あってるの？計算機で計算したらすげー値に開きが
> あるんだけど。こんなに開いてるならスゲーラフな評価でできるとおもうんだけど。
> どっかまちがってんじゃね？
412: 406 2005/08/30(火)06:34 AAS
>389
こんどは直交軸だけで解いてみますた... 直交変換を次のようにおく。
a=p'X'+r'Y'+q'Z', b=q'X'+p'Y'+r'Z', c=r'X'+q'Y'+p'Z'
ここに、p'､q'､r'は θ'^3 -θ'^2 +(1+2√7)/(27√7) =0 の3根.{ [1,1,1]軸のまわりの回転 }
・基本対称式の関係
X',Y',Z' の基本対称式を S',T',U' とおくと、s=S', t=T'. また u+a^2･b+b^2･c+c^2･a については、
(X'^2･Y'+Y'^2･Z'+Z'^2･X') の係数 (p'^3+q'^3+r'^3 +6p'q'r') +(p'q'^2+q'r'^2+r'p'^2)と
(X'･Y'^2+Y'･Z'^2+Z'･X'^2) の係数 (p'^2q'+q'^2r'+r'^2p') +3(p'q'^2+q'r'^2+r'p'^2)
が等しいとおくと、4(p'^2q'+q'^2r'+r'^2p') + 5(p'q'^2+q'r'^2+r'p'^2) = (p'+q'+q')^3, 係数は (4-√7)/9.
p'q'r'+p'^2･q'+q'^2･r'+r'^2･p'= (1+2√7)/27, (p'^3+q'^3+r'^3 +3p'q'r') + 6(p'^2q'+q'^2r'+r'^2p') = (11+4√7)/9 より、
省9
413(1): 2005/08/30(火)21:40 AAS
>>354
大数９月号に解説が載っていたので買っていた （ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ？）
示すべき不等式を
(x^2+y^2+z^2)/(x^5+y^2+z^2) + (x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^5+z^2) + (x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^5) ≦ 3 … (1)
として、Cauchyの不等式を用いて
(x^2+y^2+z^2)/(x^5+y^2+z^2) ≦ (yz+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)
を示し、巡回させて和をとると
(1)の左辺 ≦ 2 + (xy+yz+zx)/(x^2+y^2+z^2) ≦ 3
----------------------------------------------------------------------
より強い不等式が載っていた。証明は同様にするらしいけど… ('A`) お願いします。
省3
414: 2005/08/30(火)21:58 AAS
>>413
>>364
415: 2005/08/31(水)00:35 AAS
Σ(ﾟДﾟ) ﾊｯ！
416: 2005/09/06(火)12:00 AAS
ager
417(1): 2005/09/09(金)04:24 AAS
「数学オリンピック２」 スレより
2chｽﾚ:math
> 134 名前：sage[] 投稿日：2005/09/08(木) 12:00:58
>
> 微積分不等式
>
> x0, 1, x2, …,xn を x0 + x1 + x2 + … + xn = 1 を満たす正の実数とする．次の不等式を示せ．
>
> ∑( i = 1, 2, …,n ) xi / ( ( √ ( 1 + x0 + x1 + … + x_{i-1} ) ( √ ( xi + … + xn ) ) < π / 2
>
省5
418: 2005/09/10(土)16:54 AAS
>417
∑(i=0,1,…,n) ぢゃないか?
解答
x_0 + x_1 + … + x_{i-1} = sin(θ_i) とおくと、0 = θ_0 < θ_1 < … < θ_n < θ_(n+1) = π/2.
(左辺) = ∑[i=0,n] {sin(θ_(i+1)) - sin(θ_i)} / cos(θ_i).
ところで、{sin(Ａ+⊿)-sinＡ}/cosＡ = sin⊿ - (1-cos⊿)tanＡ < sin⊿ < ⊿.
(左辺) < ∑[i=0,n] {θ_(i+1)) -θ_i} = θ_(n+1) - θ_0 = π/2.
ぬるぽ
419(1): 2005/09/12(月)03:17 AAS
「★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問」
2chｽﾚ:math
> m個の正の実数a1,a2,..amと正の整数k,lについて
> (a1^k++a2^k+...+am^k)(a1^l+a2^l+...am^l)≦m(a1^(k+l)+a2^(k+l)+...am^(k+l))
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