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不等式への招待 第２章 (989ﾚｽ)
不等式への招待 第２章 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
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26: １３２人目の素数さん [sage] 05/01/22 22:37:59 他のスレからのコピーですが、質問してるわけじゃないので マルチとか言うのは勘弁してください。 3^k - 2^k + 2 < (2^k - 1)[(3/2)^k] を満たさない k は有限個しかない。 全て求め、それが全てである事も示せ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/26
27: 風あざみ [sage] 05/01/22 23:16:15 >>20 悪いが等号成立条件はよくわからん。 >>21 ＞各辺の長さが整数値の三角形ABCがあり、∠A=2∠B ∠C＞π/2を満たすとき・・・ 全く同じ問題がMathnoriにあるのだが、解答してもいいものだろうか。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/27
28: 23 [sage] 05/01/23 02:47:24 >21 n>m のときは [23] で f_k(x)=1 (m<k≦n) とおくと 【系】 n>mのとき, 実関数 f_1, …, f_m に対して, {∫_[a,b] f_1(x)^n dx} …… {∫_[a,b] f_m(x)^n dx}･|b-a|^(n-m) ≧ {∫_[a,b]f_1(x)…f_m(x) dx}^n. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/28
29: 風あざみ [sage] 05/01/23 18:25:52 >>21 0≦x≦π/2、π/6<y<π/3 のとき tan{(π sin x)/(4 sin y)}+tan{(π cos x)/(4 cos y)}＞1 まず、0≦(πsin x)/(4sin y)、(πcos x)/(4cos y)＜Π/2であることはOK (πsin x)/(4sin y)＞Π/4または(πsin x)/(4sin y)＞Π/4の場合は tan{(π sin x)/(4 sin y)}＞1あるいはtan{(π cos x)/(4 cos y)}＞1 (πsin x)/(4sin y)≦Π/4かつ(πsin x)/(4sin y)≦Π/4の場合 0≦sin x≦sin y、0≦cos x≦cos y sin x＜sin yまたはcos x＜cos yと仮定すると 1=(sin x)^2+(cos x)^2＜(sin y)^2+(cos y)^2=1となって不合理 よってsin x=sin y、cos x=cos y、したがってtan{(π sin x)/(4 sin y)}+tan{(π cos x)/(4 cos y)}=2＞1 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/29
30: 風あざみ [sage] 05/01/23 18:27:18 >>29の5行目の ＞tan{(π sin x)/(4 sin y)}＞1あるいはtan{(π cos x)/(4 cos y)}＞1 はtan{(π sin x)/(4 sin y)}＞1あるいはtan{(π cos x)/(4 cos y)}＞1だからtan{(π sin x)/(4 sin y)}+tan{(π cos x)/(4 cos y)}＞1は明らか ということ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/30
31: １３２人目の素数さん [sage] 05/01/25 17:15:41 >21 (左辺) ≧ tan[π/(2√3)] = 1.278171491830440… を示す。 まず π/(2√3) = 0.90689968211711… = α とおく。 x=y のとき、左辺 = 2 > tanα. x<y の場合を考える。［y<x の場合も F(x,y)=F(π/2 -x,π/2 -y)なので同様にできる。] 左辺 を x/y の函数で評価するのがミソ(補題1,2)。次に補題3より (左辺) ≧ tan(πx/4y) + tan{α･cos(πx/6y)} = tan(3u/2) + tan{α･cos(u)} ≧ 3u/2 + tan{α･[1-(1/2)(u^2)]}. ここに πx/6y =u とおいた。 0<u<π/6 = 0.5235987756… 補題4より、 (左辺) ≧ 3u/2 + tan(α) -(1/2)α(u^2)/[cos(α)]^2 = tan(α) + u(3/2 -1.194260986681u) ≧ tan(α), 等号成立はx=0,y=π/6. ぬるぽ 【補題1】 0≦x<y<π/2 のとき 1 > sin(x)/sin(y) > x/y. (略証) sin( ) は上に凸だから、(平均変化率)= {(0,0)－(x,sin(x))の傾き} = sin(x)/x は単調減少。∴ sin(x)/x > sin(y)/y. 【補題2】 0≦x<y かつ c<y≦ (π/2)-c のとき、 cos(x)/cos(y) ≧ cos(cx/y)/cos(c) > 1. (略証) (y +cx/y) - (c+x) = (y-x)(1 -c/y) ≧0. (y -cx/y) - (x-c) = (y-x)(1 +c/y) ≧0, (y -cx/y) - (c-x) = (y+x)(1 -c/y) ≧0 ∴ |y-cx/y| ≧ |x-c|. ∴ 2cos(y)cos(cx/y) = cos(y+cx/y) + cos(y-cx/y) ≦ cos(c+c) + cos|x-c| = 2cos(c)cos(x). 等号成立は y=c または x=y. 【補題3】 u>0 のとき cos(u)>1 -(1/2)u^2. （← -cos(u)<-1 を2回積分） 【補題4】 0<α,α+θ<π/2 のとき tan(α+θ) ≧ tan(α) + θ/[(cosα)^2]. （←tan()は下に凸） >29-30 0<y<x ⇒ sin(x)/sin(y) >1 ⇒ 左辺第1項 >1. 0<x<y ⇒ cos(x)/cos(y) >1 ⇒ 左辺第2項 >1. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/31
32: 31 [sage] 05/01/25 17:32:41 [31] は [前スレ.565(3)] の別解でつ。。。 0≦x≦π/2、π/6≦y≦π/3 のとき、tan{(π sin x)/(4 sin y)} + tan{(π cos x)/(4 cos y)} ≧ tan(α) 等号成立は (x,y)=(0, π/6)、(π/2, π/3) のとき。 スマソ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/32
33: １３２人目の素数さん [] 05/01/25 19:43:17 ソボレフの不等式のような積分に関する不等式ｷｳﾞｫﾝﾇ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/33
34: １３２人目の素数さん [sage] 05/01/25 21:34:28 >6 あったYo（但しカキコするには登録が必要．．．） http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1096116444/ http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=1&type=date&first=1 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/34
35: １３２人目の素数さん [sage] 05/01/25 22:01:42 >3 2つの単調減少列 {a_i},{b_i} について Σ[i=1,n] a_i ＝ Σ[i=1,n] b_i Σ[i=1,k] a_i ≧ Σ[i=1,k] b_i （k=1,2,…,n-1) のとき aゝb と書いて、a は b の優数列である(a majorizes b)とか言うらしい。（[1]の参考文献3） (a) はばらつきが大きく、(b)は揃っている？ 【使用例】(ムーアヘッドの不等式) aゝb ならば Σ[sym] x^a_1･y^a_2… ≧ Σ[sym] x^b_1･y^b_2… http://planetmath.org/encyclopedia/MuirheadsInequality.html http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=46 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/35
36: １３２人目の素数さん [sage] 05/01/26 09:58:45 我ながら、書きまちがいが多いな... >23 x(k,i) = f_k(a+i⊿x)･⊿x^(1/n). >31 ∴ y -cx/y ≧ |x-c|. ∴ ･･････ ≦ cos(x+c) + ･･････ 【補題3】 ･･･････ （← -cos(u)>-1 を2回積分） ∧＿∧ （ ´Д｀ ） まことに / ヽ し､__X__,ﾉJ /´⌒⌒ヽ ｌ⌒ ⌒ｌ すいませんでした。 ⊂ （ ） ⊃ V￣V >35 (ムーアヘッドの定理)に追加 Σ[sym] はすべてのx,y,…の入替えについて和をとる意味。 G.H.Hardy, J.E.Littlewood and G.Polya: "Inequalities", 2nd ed., Cambridge University Press(UK), §2.18 and §2.19, 原著p.44-48 (1988) http://mathworld.wolfram.com/MuirheadsTheorem.html "Encyclopedia"のCD-ROM版にもある... http://www.itu.dk/edu/documentation/mathworks/ http://icl.pku.edu.cn/yujs/MathWorld/math0.htm http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/36
37: １３２人目の素数さん [sage] 05/01/26 12:02:58 >>35 なるへそ！ ﾍﾞﾘｨｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/37
38: １３２人目の素数さん [sage] 05/01/26 21:13:50 [前スレ.871(1)] x,y,z,n≧0 のとき F_n = (x-y)(x-z)x^n +(y-x)(y-z)y^n +(z-x)(z-y)z^n ≧0. は、シュプリンガーの『不等式』にある定理80でつね。[前スレ.874]で解決. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/38
39: １３２人目の素数さん [sage] 05/01/26 21:29:41 （参考書） 〇厨房、工房向け 眉村 卓：「白い不等式」(秋元文庫) 秋元書房, 文庫本/206p, (1978.6) \273 眉村 卓：「白い不等式」(角川文庫) 角川書店, 文庫本/214p, (1981.4) \273 〇大人向け 植木不等式：「悲しきネクタイ」地人書館, 新書判/247p, 4-8052-0518-0 (1996.10) \1050 植木不等式：「悲しきネクタイ」日本経済新聞社, 文庫本/284p, 4-532-19078-9 (2001.8) \630 ～企業環境における会社員の生態学的および動物行動学的研究～（日経ビジネス人文庫） 植木不等式：「こころが疲れたら読む世紀末おとぎ話」 大和書房, B6判/237p, 4-479-39056-1, (1997.10) \1470 ～トンデモ童話20選～ 植木不等式監訳、マーク・ミナシ著：「いつまでバグを買わされるのか」ダイヤモンド社, 四六判/346p, 4-478-37296-9 (2000.9) ￥2415 ～平気で欠陥商品を売る業界の内幕～ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/39
40: １３２人目の素数さん [] 05/01/26 21:42:29 単純な質問なんですが、 |x^2-3|≧x の解を教えてください。 できれば解説(有)で。 お願いしますm(_ _)m(_ _)m http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/40
41: １３２人目の素数さん [sage] 05/01/26 21:53:20 また荒れ始めたな…。 スレが活性化すると荒らしも多くなる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/41
42: １３２人目の素数さん [sage] 05/01/26 21:54:14 ∧__∧ (｀･ω･´) 馬鹿はとっとと消え失せぇぃ！ .ノ^ yヽ、 ヽ,,ﾉ==l ﾉ / l | """~""""""~"""~"""~" http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/42
43: １３２人目の素数さん [sage] 05/01/27 00:55:25 [31]の方針 (左辺)=F(x,y) とおき、 0≦x≦y ⇒ F(x,y) ≧ F(cx/y,c) ≡ F(u,c) ≧ F(0,c) = tan(α). を示す。ここに c≡π/6、α≡π/(2√3). >40 x ≦ (√13 -1)/2 = 1.302775638…, 2.302775638… = (√13 +1)/2 ≦ x. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/43
44: 風あざみ ◆c/j2mAZ2V6 [sage] 05/01/27 01:52:30 >>24 f(x)が増加関数だから、 f{g(x)}/g(x)≦f(x)/x g(x)が増加関数だからg(x)/x≦g(1)/1≦1ゆえに、 g(x)/x≦g{f(x)}/f(x) よって f{g(x)}≦{f(x)g(x)}/x≦g{f(x)}となる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/44
45: 風あざみ ◆c/j2mAZ2V6 [sage] 05/01/27 01:53:30 >>44の訂正 f(x)/xが増加関数だから、 f{g(x)}/g(x)≦f(x)/x g(x)/xが増加関数だからg(x)/x≦g(1)/1≦1ゆえに、 g(x)/x≦g{f(x)}/f(x) よって f{g(x)}≦{f(x)g(x)}/x≦g{f(x)}となる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/45
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