[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第２章 (989ﾚｽ)
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7(3): 風あざみ 05/01/22 00:35 AAS
前スレの>>815の問題
a,b,cを正の有理数、(a^2)+(b^2)=(c^2)で(ab)/2は整数とする。 ab≧10 を示せ。
解答には
x^2+y^2=z^2、x,y,zは互いに素でかつxは奇数ならば、
x=s^2-t^2、y=2st、z=s^2+t^2(s,tは互いに素で一方が偶数で他方は奇数)とかけること
を証明なして使います。
解答前に、二つほど補題を示します
(1)
x^4+y^4=z^2には整数解が存在しない。
(2)
省1
8: 風あざみ 05/01/22 00:37 AAS
>>7
(1)
x^4+y^4=z^2には自然数解が存在しない。
(2)
x^4-y^4=z^2には自然数解が存在しない。
だな、突っ込まれる前に訂正(w
13(1): 風あざみ 05/01/22 01:39 AAS
要するに>>7は、ab/2≧5であることを示せばよい
a^2+b^2=c^2を満たす有理数は
a=(s^2-t^2)(f/g)、b=(2st)(f/g)、c=(s^2+t^2)(f/g)とかけます。
sとtは互いに素で一方が偶数で他方が奇数
fとgは互いに素な整数。
ab/2=M(Mは自然数)とおくと、f^2*st(s^2-t^2)=M*g^2
f^2とg^2は互いに素ですから、Mがf^2で割り切れる。
M=f^2*N
st(s^2-t^2)=N*g^2
Nが平方数のとき
省4
907: 2007/01/11(木)21:44 AAS
>>7
7 名前： 風あざみ [sage] 投稿日： 05/01/22 00:35:18
前スレの>>815の問題
a,b,cを正の有理数、(a^2)+(b^2)=(c^2)で(ab)/2は整数とする。 ab≧10 を示せ。
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