[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第３章 (1001ﾚｽ)
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451(2): 2008/08/21(木)00:38 AAS
>>433
用意しといた解答書いておく
sin(π/12) ＞ (π/12) - (1/6)(π/12)^3
tan(π/12) ＞ (π/12) + (1/3)(π/12)^3
より
8sin(π/12) + 4tan(π/12) ＞ π …(*)
一方
sin(π/12) = (√6 - √2)/4
tan(π/12) = 2 - √3
より
省7
452(1): 2008/08/21(木)00:43 AAS
>>451
神過ぎる！
453: 2008/08/21(木)01:53 AAS
>>452
thx
今、こんなの見つけた
外部ﾘﾝｸ[html]:www2.ocn.ne.jp
簡単な証明あったら、カッコ悪いと思ったけど、大丈夫だった
454(1): 2008/08/21(木)03:13 AAS
>>451
sin(π/12) ＞ (π/12) - (1/6)(π/12)^3
tan(π/12) ＞ (π/12) + (1/3)(π/12)^3
これはどこから沸いてきた。
455: 2008/08/21(木)04:03 AAS
3 次のTaylor展開を用いた不等式でしょ。
456(3): 2008/08/21(木)18:36 AAS
ｋ∈N、ｔ≠0 のとき、
｜(d^k/dt^k) exp｛-1/(t^2)｝｜≦ ｛(2^k・k! / (｜ｔ｜^k)｝ exp｛-4/(81t^2)｝
を示せ。
457: 2008/08/21(木)22:17 AAS
AA省
458(2): 2008/08/21(木)22:39 AAS
0<θ<π/4のとき不等式
(cosθ)^(cosθ)＞(sinθ)^(sinθ)
を示せ。
459(1): 2008/08/21(木)23:30 AAS
>>458
この範囲において
cosθ＞sinθ
よって不等式は明らか
460(3): 2008/08/22(金)01:40 AAS
x1,x2,x3,a1,a2,a3は実数。
x1≧0,x2≧0,x3≧0、
a1+a2≧0,a2+a3≧0,a1+a3≧0とする。
x1+x2+x3=1のとき、
a1x1+a2x2+a3x3≧a1(x1)^2+a2(x2)^2+a3(x3)^2を示せ。
(2)正の実数x,yに対し
√x＋√y≦k√(2x+y)が成り立つような実数kの最小値を点と直線の距離公式を用いて求めよ。
461: 2008/08/22(金)07:16 AAS
>>460
学校の宿題は自分で考えましょうね
462(1): 2008/08/22(金)07:30 AAS
>>459
ｘ＾ｘは単調増加ではない。
463: 2008/08/22(金)11:48 AAS
>>462
ですよね
464: 2008/08/22(金)17:44 AAS
cosxと(sinx)^tanxのグラフを書いて・・・
力技過ぎるか
465: 2008/08/22(金)18:17 AAS
対数とって考えてみるか・・・
466(2): 2008/08/22(金)21:43 AAS
f(θ) =log (cosθ)^(cosθ) -log (sinθ)^(sinθ)
を微分したら単調性は自明。
多分 0 < θ < π/4 の条件はもっと弱くできると思う。
467: 466 2008/08/22(金)21:45 AAS
最後の1行は勘違い。
468: 466 2008/08/22(金)21:49 AAS
全部勘違いだ〜
469(1): 2008/08/23(土)00:41 AAS
>>460(1)解説よろ
470(1): 2008/08/23(土)07:00 AAS
>>458
0≦t≦1 とする。
f(t) = (1/2)log(1+t^2) + log(1/√2)･t,
とおくと
f(0) = f(1) = 0,
f "(t) = (1-t^2)/(1+t^2)^2 ≧0,
f(t) ≦ 0 (0≦t≦1)
t=tanθ とおいて
log(cosθ) ≧ tanθ･log(1/√2),
cos(x) >0 を掛けて
省1
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