[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第３章 (1001ﾚｽ)
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471: 2008/08/23(土)07:36 AAS
>>460(1) ,>>469
(左辺) - (右辺) = a1･x1(1-x1) + a2･x2(1-x2) + a3･x3(1-x3)
= a1･x1(x2+x3) + a2･x2(x3+x1) + a3･x3(x1+x2)
= (a1+a2)x1･x2 + (a2+a3)x2･x3 +(a3+a1)x3･x1 ≧0,
>>460(2)
2x=u^2, y=v^2 とおく。
(k^2)(u^2 + v^2) - (u/√2 + v)^2 = (k^2 -1/2)u^2 -(√2)uv + (k^2 -1)v^2,
が常に≧0である条件は相異なる2実根をもたないこと。
判別式 D' ≦0,
D' = 1/2 - (k^2 -1/2)(k^2-1) = (k^2)(3/2 - k^2),
省1
472: 2008/08/23(土)09:16 AAS
>>470
見事な攻撃だ、たけちゃんまん。
ｆ（ｔ）≧ｇ（ｔ） を示すより、ｆ（ｔ）≧ｈ（ｔ） かつ ｈ（ｔ）≧ｇ（ｔ） を示す方が簡単な ｈ（ｔ） を作ってくる眼力には脱毛だぁ
473(1): 2008/08/23(土)21:54 AAS
>>454
f(x) = sin(x) - x + (1/6)x^3,
とおくと
f '"(x) = -cos(x) +1 ≧ 0,
これと f "(0) =0 から,
x･f "(x) = x{-sin(x) +x} > 0,
これと f '(0) =0 から,
f '(x) = cos(x) -1 +(1/2)x^2 > 0,
これと f(0) =0 から,
x･f(x) > 0,
省8
474(1): 2008/08/23(土)23:55 AAS
>>473
マクローリンの ３次＋剰余項 で自明でないの。
475: 2008/08/24(日)00:10 AAS
>>474
ええじゃん。
476(1): 2008/08/24(日)00:14 AAS
誰か>>456をお願いします
477(2): 2008/08/24(日)03:29 AAS
通約可能って意味を教えてくんなませ
はーでぃの本でいきなりつまったwww
478(1): 2008/08/25(月)01:52 AAS
>>477
ネタ？
何ページ？
479: 2008/08/26(火)22:46 AAS
>>456って右辺は ｛(2^k・k! / (｜ｔ｜^k)｝ exp｛-4/(9t^2)｝ にならないかな？
勿論 exp｛-4/(9t^2)｝ ≦ exp｛-4/(81t^2)｝ なんだけど。
おらの勘違い？
480: 2008/08/26(火)23:05 AAS
>>477
通約可能ってのは例えば 4/6 が = 2/3 と直せたり
(x^2 - 1)/(x^2 + 2x - 3) が
= [(x + 1)(x - 1)]/[(x - 1)(x + 3)] = (x + 1)/(x + 3) と直せたりするように
分母分子に共通の因子があることだけど。
そういう意味で言ってるの？
もしかして不等式の専門書では通約可能という言葉を
難しい意味で使うのかな、とも思ってレス控えてたけど。
Hardyの本って「不等式」のこと？もしかして「数論入門」のほう？
481: 2008/08/27(水)07:48 AAS
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十五問
2chｽﾚ:math より。
937 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 19:55:34
a,b,cをabc=1を満たす正の実数とする。次の不等式を示せ。
(a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)≦1
945 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 22:40:11
abc=1 とあるから当然、 a=y/z, b=z/x, c=x/y と置くんだろうな。
（左辺) = {(y-z+x)/z}{(z-x+y)/x}{(x-y+z)/y}
題意より、-x+y+z, x-y+z, x+y-z のいづれか2つの和は正だから、
正でないのは高々１つだけ。
省7
482: 2008/08/30(土)00:54 AAS
>>478 480さん
レスありがとうございます。
「不等式」のほうです
例えば、p15に「通約可能なウエイト付き平均」と「通約可能でないウエイト付き平均」の
話が出てきます
「また、通約可能でないウエイト付き平均は、通常の平均の中のある種の極限とみなす」
などと書いてあります。
それと、話は違うのですが、これは益田塾のなかの問題ですが、
abc=1(a,b,cは正)で、abcについての対称式である不等式を
a=x/y, b=y/z, c=z/xとおいて一般性を失わず、として書き換えて解く論法っていうのは
省1
483: 2008/08/30(土)00:56 AAS
うわwww 偶然だげと481とかぶった。481で引用されているのが益田塾サイトにある
問題とその解答ですね。
484: 2008/08/30(土)01:12 AAS
ちょっと長めに引用しておきます
「通常の平均はすでに述べたようにウエイト付き平均の特別な場合である。
一方、通約可能なウエイトつき平均は, 通常の平均に帰着することができる。
実際、同次性によりウエイトはすべて整数であるとしてよく、さらに(ry」
これ読むと、ウエイトが有理数って意味なんかなと(深く考えずに)思っていたんですが
ググってもよくわからずで。
485(1): 2008/09/06(土)06:57 AAS
>>456,476
f(t) = exp{-1/(t^2)} とおく。
f^(k)(t) = {(2/t^3)^k - 3･2^(k-2)･k(k-1)/t^(3k-2) + ･････ + (-1)^k (k-1)(k+6)(k+1)!/[12t^(k+4))] + (-1)^(k-1) (k+1)!/t^(k+2)} exp{-1/(t^2)}
= {(2/t^2)^k - (3/2)k(k-1) (2/t^2)^(k-1) + ･･････ + (-1)^k (k-1)(k+6)(k+1)!/(12t^4) + (-1)^(k-1) (k+1)!/t^2} (1/t^k) exp{-1/(t^2)}
= P_k(1/t^2) (1/t^k) exp{-1/(t^2)},
ここに P_k はk次の多項式で
P_k(x) = (2x)^k -(3/2)k(k-1) (2x)^(k-1) + ････････ + (-1)^k [(k-1)(k+6)(k+1)!/12] x^2 + (-1)^(k-1) (k+1)! x,
ところで、
f^(k)(t) (t^k) exp{a/(t^2)} = P_k(1/t^2) exp{-(1-a)/(t^2)} = P_k(x) exp{-(1-a)x}, (a=4/81 or 4/9)
これの絶対値が (2^k)(k!) 以下であることを示す。
省2
486: 2008/09/06(土)15:45 AAS
>>485
流石不等式スレ、恐れ入ります。
実は元ネタがあって、コーシーの積分公式より
(d^k/dt^k) exp｛-1/(t^2)｝＝（k!/2πi）∫[exp｛-1/(z^2)｝/(z-ｔ)^(ｋ+1)] dz
487(4): 2008/09/06(土)18:52 AAS
1＜cosA＋cosB＋cosC≦3/2
を示す巧い方法ありますかね？
488: 2008/09/06(土)18:56 AAS
>>487
成り立たないだろ
489: 2008/09/06(土)20:16 AAS
記号から考えて、A≧0，B≧0，C≧0，A＋B＋C＝πが仮定されているのではなかろうか。
凸不等式とか使えばなんとかなるんじゃね。
490: 2008/09/06(土)20:47 AAS
(0,π)でcos xは凸関数でも凹関数でもないからなあ。
とりあえず、A≧B≧Cを仮定して、
f(B,C)=cosB+cosC-cos(B+C)を、0＜C≦π/3、C≦B≦(π-C)/2の範囲で
偏微分でゴリゴリやれば、示せるが。
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