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不等式への招待 第３章 (1001ﾚｽ)
不等式への招待 第３章 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
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456: １３２人目の素数さん [] 2008/08/21(木) 18:36:37 ｋ∈N、ｔ≠0 のとき、 ｜(d^k/dt^k) exp｛-1/(t^2)｝｜≦ ｛(2^k・k! / (｜ｔ｜^k)｝ exp｛-4/(81t^2)｝ を示せ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/456
457: １３２人目の素数さん [sage] 2008/08/21(木) 22:17:40 >>445 f(x) = ax^2 +bx +c, f '(x) = 2ax +b, を与式の両辺に代入する。 奇数次の項は積分すれば0である（計算するには及ばない）。 (左辺) = ∫[-1,1](1-x^2){(2ax)^2 + b^2}dx = (16/15)a^2 + (4/3)b^2, (右辺) = 6∫[-1,1]{(a^2)x^4 +(2ac+b^2)x^2 +c^2}dx = (12/5)a^2 + 4(2ac+b^2) + 12c^2 = (16/15)a^2 + 4b^2 + (4/3)(a+3c)^2 ≧ (16/15)a^2 + 4b^2, http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/457
458: １３２人目の素数さん [] 2008/08/21(木) 22:39:41 0<θ<π/4のとき不等式 (cosθ)^(cosθ)＞(sinθ)^(sinθ) を示せ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/458
459: １３２人目の素数さん [] 2008/08/21(木) 23:30:30 >>458 この範囲において cosθ＞sinθ よって不等式は明らか http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/459
460: １３２人目の素数さん [] 2008/08/22(金) 01:40:53 x1,x2,x3,a1,a2,a3は実数。 x1≧0,x2≧0,x3≧0、 a1+a2≧0,a2+a3≧0,a1+a3≧0とする。 x1+x2+x3=1のとき、 a1x1+a2x2+a3x3≧a1(x1)^2+a2(x2)^2+a3(x3)^2を示せ。 (2)正の実数x,yに対し √x＋√y≦k√(2x+y)が成り立つような実数kの最小値を点と直線の距離公式を用いて求めよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/460
461: １３２人目の素数さん [sage] 2008/08/22(金) 07:16:47 >>460 学校の宿題は自分で考えましょうね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/461
462: １３２人目の素数さん [sage] 2008/08/22(金) 07:30:01 >>459 ｘ＾ｘは単調増加ではない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/462
463: １３２人目の素数さん [sage] 2008/08/22(金) 11:48:30 >>462 ですよね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/463
464: １３２人目の素数さん [sage] 2008/08/22(金) 17:44:47 cosxと(sinx)^tanxのグラフを書いて・・・ 力技過ぎるか http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/464
465: １３２人目の素数さん [sage] 2008/08/22(金) 18:17:06 対数とって考えてみるか・・・ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/465
466: １３２人目の素数さん [] 2008/08/22(金) 21:43:06 f(θ) =log (cosθ)^(cosθ) -log (sinθ)^(sinθ) を微分したら単調性は自明。 多分 0 < θ < π/4 の条件はもっと弱くできると思う。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/466
467: 466 [sage] 2008/08/22(金) 21:45:36 最後の1行は勘違い。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/467
468: 466 [sage] 2008/08/22(金) 21:49:54 全部勘違いだ〜 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/468
469: １３２人目の素数さん [] 2008/08/23(土) 00:41:31 >>460(1)解説よろ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/469
470: １３２人目の素数さん [sage] 2008/08/23(土) 07:00:51 >>458 0≦t≦1 とする。 f(t) = (1/2)log(1+t^2) + log(1/√2)･t, とおくと f(0) = f(1) = 0, f "(t) = (1-t^2)/(1+t^2)^2 ≧0, f(t) ≦ 0 (0≦t≦1) t=tanθ とおいて log(cosθ) ≧ tanθ･log(1/√2), cos(x) >0 を掛けて cosθ･log(cosθ) ≧ sinθ･log(1/√2) ≧ sinθ･log(sinθ), (0<θ≦π/4) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/470
471: １３２人目の素数さん [sage] 2008/08/23(土) 07:36:55 >>460(1) ,>>469 (左辺) - (右辺) = a1･x1(1-x1) + a2･x2(1-x2) + a3･x3(1-x3) = a1･x1(x2+x3) + a2･x2(x3+x1) + a3･x3(x1+x2) = (a1+a2)x1･x2 + (a2+a3)x2･x3 +(a3+a1)x3･x1 ≧0, >>460(2) 2x=u^2, y=v^2 とおく。 (k^2)(u^2 + v^2) - (u/√2 + v)^2 = (k^2 -1/2)u^2 -(√2)uv + (k^2 -1)v^2, が常に≧0である条件は相異なる2実根をもたないこと。 判別式 D' ≦0, D' = 1/2 - (k^2 -1/2)(k^2-1) = (k^2)(3/2 - k^2), k ≧ √(3/2), http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/471
472: １３２人目の素数さん [sage] 2008/08/23(土) 09:16:09 >>470 見事な攻撃だ、たけちゃんまん。 ｆ（ｔ）≧ｇ（ｔ） を示すより、ｆ（ｔ）≧ｈ（ｔ） かつ ｈ（ｔ）≧ｇ（ｔ） を示す方が簡単な ｈ（ｔ） を作ってくる眼力には脱毛だぁ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/472
473: １３２人目の素数さん [sage] 2008/08/23(土) 21:54:54 >>454 f(x) = sin(x) - x + (1/6)x^3, とおくと f '"(x) = -cos(x) +1 ≧ 0, これと f "(0) =0 から, x･f "(x) = x{-sin(x) +x} > 0, これと f '(0) =0 から, f '(x) = cos(x) -1 +(1/2)x^2 > 0, これと f(0) =0 から, x･f(x) > 0, {tan(x) - x} ' = 1/cos(x)^2 -1 = tan(x)^2 > 0, と tan(0) -0 =0 から x･{tan(x)-x} > 0, (|x|<π/2) g(x) = tan(x) -x -(1/3)x^3 とおくと g '(x) = 1/cos(x)^2 -1 -x^2 = tan(x)^2 - x^2 >0 (|x|<π/2) これと g(0) =0 から x･g(x) >0, http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/473
474: １３２人目の素数さん [sage] 2008/08/23(土) 23:55:48 >>473 マクローリンの ３次＋剰余項 で自明でないの。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/474
475: １３２人目の素数さん [sage] 2008/08/24(日) 00:10:03 >>474 ええじゃん。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/475
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