[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第３章 (1001ﾚｽ)
上下前次1-新
このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索 歴削→次ｽﾚ 栞削→次ｽﾚ 過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ
483: 2008/08/30(土)00:56 AAS
うわwww 偶然だげと481とかぶった。481で引用されているのが益田塾サイトにある
問題とその解答ですね。
484: 2008/08/30(土)01:12 AAS
ちょっと長めに引用しておきます
「通常の平均はすでに述べたようにウエイト付き平均の特別な場合である。
一方、通約可能なウエイトつき平均は, 通常の平均に帰着することができる。
実際、同次性によりウエイトはすべて整数であるとしてよく、さらに(ry」
これ読むと、ウエイトが有理数って意味なんかなと(深く考えずに)思っていたんですが
ググってもよくわからずで。
485(1): 2008/09/06(土)06:57 AAS
>>456,476
f(t) = exp{-1/(t^2)} とおく。
f^(k)(t) = {(2/t^3)^k - 3･2^(k-2)･k(k-1)/t^(3k-2) + ･････ + (-1)^k (k-1)(k+6)(k+1)!/[12t^(k+4))] + (-1)^(k-1) (k+1)!/t^(k+2)} exp{-1/(t^2)}
= {(2/t^2)^k - (3/2)k(k-1) (2/t^2)^(k-1) + ･･････ + (-1)^k (k-1)(k+6)(k+1)!/(12t^4) + (-1)^(k-1) (k+1)!/t^2} (1/t^k) exp{-1/(t^2)}
= P_k(1/t^2) (1/t^k) exp{-1/(t^2)},
ここに P_k はk次の多項式で
P_k(x) = (2x)^k -(3/2)k(k-1) (2x)^(k-1) + ････････ + (-1)^k [(k-1)(k+6)(k+1)!/12] x^2 + (-1)^(k-1) (k+1)! x,
ところで、
f^(k)(t) (t^k) exp{a/(t^2)} = P_k(1/t^2) exp{-(1-a)/(t^2)} = P_k(x) exp{-(1-a)x}, (a=4/81 or 4/9)
これの絶対値が (2^k)(k!) 以下であることを示す。
省2
486: 2008/09/06(土)15:45 AAS
>>485
流石不等式スレ、恐れ入ります。
実は元ネタがあって、コーシーの積分公式より
(d^k/dt^k) exp｛-1/(t^2)｝＝（k!/2πi）∫[exp｛-1/(z^2)｝/(z-ｔ)^(ｋ+1)] dz
487(4): 2008/09/06(土)18:52 AAS
1＜cosA＋cosB＋cosC≦3/2
を示す巧い方法ありますかね？
488: 2008/09/06(土)18:56 AAS
>>487
成り立たないだろ
489: 2008/09/06(土)20:16 AAS
記号から考えて、A≧0，B≧0，C≧0，A＋B＋C＝πが仮定されているのではなかろうか。
凸不等式とか使えばなんとかなるんじゃね。
490: 2008/09/06(土)20:47 AAS
(0,π)でcos xは凸関数でも凹関数でもないからなあ。
とりあえず、A≧B≧Cを仮定して、
f(B,C)=cosB+cosC-cos(B+C)を、0＜C≦π/3、C≦B≦(π-C)/2の範囲で
偏微分でゴリゴリやれば、示せるが。
491: 2008/09/06(土)21:03 AAS
それはウマい方法じゃないだろｗ
492: 2008/09/07(日)01:12 AAS
A+B+C=π π＞A≧B≧C＞0 として
cos(A)+cos(B)+cos(C)-1
=cos(A)+cos(B)-cos(B+C)-1
=2*cos(（A+B)/2)*cos((A-B)/2)-2*cos^2((A+B)/2)
=2*cos((A+B)/2)*{cos((A-B)/2)-cos((A+B)/2)}
=2*sin((A+B)/2)*{(-2)*sin(A/2)*sin(-B/2)}
=4*sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)>0
log(cos(A)+cos(B)+cos(C)-1)
=log(4)+log(sin(A/2))+log(sin(B/2))+log(sin(C/2))
≦log(4)+3*log( sin( (A/2+B/2+C/2)/3 ) ) (∵log(sin(x)) は0<x<π/2で上に凸)
省3
493: 2008/09/07(日)01:15 AAS
>>487
cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)+1 が成り立つ[*]ので，
示すべき不等式は 0<sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) ≦ 1/8 と同値。
sin(A/2)>0などより，左側の不等号は明らか。
右側は，まずは相加相乗平均により
sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) ≦ ( { sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2) }/3 )^3
さらに，凸不等式より
{ sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2) }/3 ≦ sin((A+B+C)/6) = 1/2
なので，sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) ≦ (1/2)^3 = 1/8 となり示せた。
[*]の証明は，C=π-(A+B)を左辺に代入して和積，倍角公式で変形するだけ。
494(1): 2008/09/07(日)13:37 AAS
半径１の円の周上に３点Ａ，Ｂ，Ｃをとる
↑ＡＢ・↑ＡＣの最大値，最小値を求めよ
495(2): 2008/09/07(日)13:46 AAS
>>487
三角形ABCの内接円の半径をr、外接円の半径をとすればR
cosA+cosB+cosC=1+r/R
で、R≧2rはすぐ示せるから与不等式も示される
496(1): 2008/09/08(月)01:06 AAS
>>494
それ、ハイ理にあったような
497(3): 2008/09/08(月)01:15 AAS
>>496
ハイ理とは何ぞや？
>>495
cosA+cosB+cosC=1+r/R はどうやってだすの？
498(3): 2008/09/08(月)02:04 AAS
>>497
ハイレベル理系数学という大学受験参考書の一つでつ
ところで、R≧2rを一番簡単に示す方法はなんでしょ?
499(1): 2008/09/08(月)02:31 AAS
>>498
( ﾟ∀ﾟ)ﾃﾍｯ、呼んだ？
私のコレクションには４通りの解法が汚い字でメモってあるけど、
久しぶりなので、自分の走り書きが理解できない秘密 ('A;;;,,...
----------------------------------------------------------
(1) ヘロンの公式に …（←走り書きなので読み取れない）を用いた後、
S = abc/(4R) を用いる
(2) 示すべき不等式を基本対称式を用いて表してから頑張る！
R = u/(4S)、r = 2S/s、16S^2 = s(-s^3+4st-8u)
(3) チャップル・オイラーの定理を用いる
省7
500: 2008/09/08(月)03:12 AAS
>>495の式が一番明瞭の気がするけど、r/R示すのにまたワンステップ踏まないといけないのか
>>499
なんか各辺の中点を通る円でのキカ的な証明があった気がする
501(2): 2008/09/08(月)07:55 AAS
>>498
外心をO、内心をIとするとに
OI=√(R^2-2Rr)
となることを幾何学的に示す
502: 2008/09/08(月)18:39 AAS
>>501
それ、チャップル・オイラー
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
あと 499 ﾚｽあります
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ
ぬこの手 ぬこTOP 0.168s*