[過去ﾛｸﾞ] 代数学・幾何学・解析学スレッド (1002ﾚｽ)
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301: 2010/12/10(金)21:44 AAS
なんだ十分眠れてるんじゃないか
302: 猫の慈円うぜえ ◆MuKUnGPXAY [age] 2010/12/11(土)03:39 AAS
もはや睡眠薬と精神安定剤と抗不安薬は不要にナリマシタね。お陰様ですワ。
なので今の病気は金欠病。クスリはアラヘンけどナ、既に国がその病気やさかいナ。
猫
303: 2010/12/20(月)23:01 AAS
退屈な授業中の暇つぶしに使えそうな数学的落書きありませんか？
ちなみに、数学的落書き紹介動画シリーズ「Doodling in Math Class」をご紹介。
外部ﾘﾝｸ:www.frablo.jp
304: 2010/12/21(火)09:59 AAS
トリップの集合と４桁の数字英文字の集合とは全単射が存在しますか？
305(2): 2010/12/21(火)23:08 AAS
線形代数の分野での質問です
行列のn乗の有効利用としてのペル方程式の整数解を全て求められるはなぜでしょうか？
例えば具体的には x^2-3y^2=1 というペル方程式を満たし
連続する三つの整数解より
(2,-1)→(1,0)→(2,1) ⇒ A(2,-1)=(1,0),A(1,0)=(2,1)
これよりある二次正方行列Aを求め,ある整数解にこの一次変換を作用させると
次の整数解が得られることに着目して,A^nを求め
一般解(x_n,y_n)=A^n(2,±1)(n:自然数)を得る
実際に代入してみると当てずっぽうでは得られないような解も簡単に得られ
この不定方程式を確かに満たすようです。
省7
306(1): 2010/12/21(火)23:15 AAS
>>305
曲線を保つ一次変換を考えてるだけじゃねーの？
307: 2010/12/21(火)23:32 AAS
>>306
それはなんとなく分かります
ある解に一次変換を作用させて得られたものも解となっているのは
その点を通る曲線を一定に保つような一次変換なので当然なのですが
(x,y)A=(x',y')としたときの(x,y)と(x',y')の間には
整数解は存在しない(実際にやってみるとそうなる)ということが
説明できないように思うのですが…
308(1): 2010/12/21(火)23:35 AAS
別にあってもいいじゃん。
309: 2010/12/21(火)23:46 AAS
>>308
行列のn乗では表現できない解(解とその変換の解の間の解)
があっても問題ないってことですか？
310(1): 2010/12/21(火)23:49 AAS
別に一個で全部まかなう必要ないやん
311(1): 2010/12/21(火)23:52 AAS
>>310
えっと、一体その解はどうやって求めたらいいのでしょうか？
312: 2010/12/21(火)23:56 AAS
さあ？
313: 2010/12/21(火)23:57 AAS
>>311
そもそも種にする最初の解はどうやって求めたの？
314: 2010/12/22(水)00:07 AAS
ペル方程式x^2-Dy^2=1(D:自然数)
では(1,0)は必ず自明な解として存在するので後は地味にxを増やしていって
当てはまるyを気合で求める、その解を(α,β)とするとx軸対称だから
(α,-β)も解になるのである一次変換Aで(α,-β)→(1,0)→(α,β)
要するに(1,0)の次の解だけは自力で探さなないとだめそうです
315(2): 2010/12/22(水)00:52 AAS
>>305
Pell方程式の解(x,y)のが決まると必然的に解は(a,±b)の形で表わされる。
勿論、(1,0)も解になる。
そして、任意の解(a,±b)に対して
A(a,-b)=(1,0)、A(1,0)=(a,b)
を満たす行列Aは唯1つ存在する。
このとき、A^2(a,-b)=A(1,0)=(a,b)が成り立つ。
つまり、任意の自然数nに対して
A^{n+2}(a,-b)=A^{n+1}(1,0)=A^n(a,b)
が成り立つ。よって
省11
316: 2010/12/22(水)01:00 AAS
訂正：>>315の
>A(a,-b)=(1,0)、A(1,0)=(a,b)、(a,±b)はPell方程式、
は
A(a,-b)=(1,0)、A(1,0)=(a,b)、(a,±b)はPell方程式「の解」、
の間違い。
317(3): 2010/12/22(水)01:25 AAS
>>315
詳細な説明ありがとうございます
行列のn乗を使った一般解が当然Pell方程式を満足することは分かりました
ちなみにPell方程式を満たす全ての整数解が他に存在しないこと
を示すにはどうしたらよいでしょうか？
それとここで求めた行列の意味は、Pell方程式の表す図形を変形しない以外に何か意味があるのでしょうか
たとえば、基底ベクトルを変形させてできるその斜交座標にある意味、この行列を相似変換・回転行列とした時の意味等とか…
318(1): 2010/12/22(水)01:34 AAS
トーラスの有理点の集合を表現空間とするウンたらかんたら
319: 2010/12/22(水)01:44 AAS
>>318
二次不定方程式なのにトーラスが出てくるとは…
詳細は分からないですがこの問題も奥深いですね…
320: 2010/12/22(水)02:22 AAS
とりあえず複素変数で考えよう
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