[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第５章 (1001ﾚｽ)
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27(2): じゅ� [[] 2010/11/19(金)00:53 AAS
ｷｬｽﾌｨ―修羅の刻―より。
正の実数a,b,cに対し次を満たす最大の実数kを求めよ。
{(a+2b)(b+2c)(c+2a)}^2
≧k(ab+bc+ca)^3
できれば解き方も書いてほしいです。
非対称な部分の処理の仕方がわからないので教えて下さいって意味も込めて。
28: 2010/11/19(金)13:47 AAS
シュワルツの不等式ｻｲｺｳ
29(2): 2010/11/21(日)19:41 AAS
>>27
基本対称式を a+b+c=s, ab+bc+ca=t, とおくと、
(a+2b)(b+2c)(c+2a) = 3st + (a-b)(b-c)(c-a) = 3st + ⊿,
非対称な部分 (a-b)(b-c)(c-a) = ⊿ は正にも負にもなり得るので、
絶対値を押さえます。
〔補題〕 |⊿| ≦ (2/√3)(t/s)(s^2 -3t),
詳細は [第３章.727, 737-739] へ。ミーラ置き場にあります...
30(2): 2010/11/21(日)19:48 AAS
AA省
31(2): じゅ� [[] 2010/11/22(月)00:16 AAS
巧妙ですね。
まず(a-b)(b-c)(c-a)を作るんですか??
あとは最小値とかを与えて計算??
|⊿|=xy(x+y)となるのは面白いですね。
32: 2010/11/27(土)23:50 AAS
[問題]
f は区間 (a,b) (a<b) で C^2 級関数であるとき、
∫_[a,b] |f′(x) |dx ≦ 54{ 1/(b-a)^2 ∫_[a,b] |f(x)|^2 dx
+ (b-a)^2∫_[a,b] |f" (x)|^2 dx }
が成立することを示せ。
33(2): 2010/12/02(木)22:54 AAS
ｷｬｽﾌｨｰ からもう一題。（Σ計算-180)
〔問題〕
a[1],a[2],･･･,a[n]≧0
∑[k=1,n] a[k] = S のとき 次を示せ。
(1) ∑[k=1,n] a[k]^2 ≧ (1/n)S^2,
(2) ∑[k=1,n-1] a[k]a[k+1] ≦ (1/4)S^2,
34: 2010/12/06(月)20:57 AAS
>>33 しょうがねぇなぁ…
(3) ∑[k=1,n-2] a[k]a[k+1]a[k+2] ≦ (S/3)^3,
(4) ∑[k=1,n-3] a[k]a[k+1]a[k+2]a[k+3] ≦ (S/4)^4,
… …
35: 2010/12/06(月)23:51 AAS
>>33
（１）シュワルツの不等式より、
Ｓ＝∑[k=1,n] 1・a[k] ≦ { ∑[k=1,n] 1^2 }^{1/2}・{ ∑[k=1,n] a[k]^2 }^{1/2} ＝ {ｎ}^{1/2}・{ ∑[k=1,n] a[k]^2 }^{1/2}．
よって，
Ｓ^2 ≦ n ∑[k=1,n] a[k]^2
が証明された。
36(1): 2010/12/09(木)03:54 AAS
不等式の『未解決』問題集ってどこかに無いかな？
フェルマー予想やポアカレ予想のような、不等式界における大予想、大問題
というのを知りたいね。
ついでに、このスレでチャレンジしてみるのも面白そう。
不等式の大予想、２ちゃんねるスレで解ける！
みたいに…
省1
37: 2010/12/09(木)03:58 AAS
例えば、ラマヌジャン系の不思議な不等式に証明を与える（ないし、反例を与える）作業とか
なんか良い文献ないかなあ
38: 2010/12/09(木)05:43 AAS
Bateman
[Ramanujan Book]
ha dou??
39(1): 2010/12/09(木)10:04 AAS
nesbitの不等式って未解決の部分があるんじゃなかったっけ
40: 2010/12/09(木)22:03 AAS
>>36
巡回和関係の不等式は見かけは簡単でも、未解決なのが結構あるそうだ。
Shapiroの巡回不等式もこの10年数年に解けたそうな。
（大関本ではまだ未解決になっている）
41: 2010/12/09(木)22:07 AAS
>>39
Nsbittの不等式の一般化が Shapiroの巡回不等式。
だから現在では解決済み。
42(1): 2010/12/09(木)22:18 AAS
Nesbittの不等式
外部ﾘﾝｸ[htm]:www004.upp.so-net.ne.jp
外部ﾘﾝｸ[pdf]:olympiads.mccme.ru
43: 2010/12/11(土)15:07 AAS
>>42
思わずフルボッキしてしまった！
44(1): 2010/12/12(日)05:14 AAS
>>29-31
〔補題’〕a,b,c≧0 のとき |⊿| ≦ 2{s-√(3t)}t,
等号成立は m=0 かつ x/y = 1/2 のとき。
45: 2010/12/12(日)06:08 AAS
Shapiro's cyclic sum
外部ﾘﾝｸ[html]:mathworld.wolfram.com
なお、λ = 1/3 としたものが [初代スレ.501] にある。
46: 2010/12/25(土)18:03 AAS
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