[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第５章 (1001ﾚｽ)
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734: 2011/11/13(日)02:00 AAS
>>733

　(a+b+c)^2 -3(ab+bc+ca) = (1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} ≧ 0 より
　ab + bc + ca ≦ (1/3)(a+b+c)^2 = 1/3,
これを与式から差引くと、つまり次式を示せばよい。

　ab/(c+1) + bc/(a+1) + ca/(b+1) ≦ 1/4,

　(左辺) = ab{1 - c/(c+1)} + bc{1 - a/(a+1)} + ca{1 - b/(b+1)}
　　= (ab+bc+ca) -abc{1/(c+1) + 1/(a+1) + 1/(b+1)}
　　≦ (ab+bc+ca) - 9abc/(a+b+c+3)　(← 相加･調和平均 または y=1/x:下に凸)
　　= (ab+bc+ca) - 9abc/{4(a+b+c)}　(← a+b+c=1)
　　= (1/4)(a+b+c)^2 - F_1(a,b,c)/{4(a+b+c)}
　　≦ 1/4,　　(← a+b+c=1)

ここに
　F_1(a,b,c) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b)
　　　= (a+b+c)^3 -4(a+b+c)(ab+bc+ca) + 9abc ≧ 0,　(Schur)

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