[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第５章 (1001ﾚｽ)
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67(3): 2011/01/19(水)05:52 AAS
>>62
私の粗末なコレクションを検索したところ、似たようなものがあった。

[1997早稲田大]-----------------------------------------------------------

x、yを任意の正の数とし、p、qを 1/p + 1/q = 1 かつ p>>1、q>>1 をみたす有理数とする。

(1) (x+y)^2 ≦ px^2 + qy^2 を示せ

(2) (x+y)^(1/p) < x^(1/p) + y^(1/p) を示せ
省2

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76(2): 2011/01/19(水)22:54 AAS
>>62 >>66 >>68-69
　1-p > 0,
　x^p = x/{x^(1-p)} > x/(x+y)^(1-p),
　y^p = y/{y^(1-p)} > y/(x+y)^(1-p),
辺々たす。 (終)

>>67

(1) 題意より (p-1)(q-1) = 1,
　　px^2 + qy^2 - (x+y)^2 = {x√(p-1) - y√(q-1)}^2 ≧ 0,

(2) 上と同様。ただし p ⇔ 1/p

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77: 2011/01/23(日)06:27 AAS
>>67
(x+y)^(1/p)*(x+y)^(1/q)
= (x+y)^(1/p + 1/q)
= x+y
= x^(1/p + 1/q) + y^(1/p + 1/q)
= x^(1/p)*x^(1/q) + y^(1/p)*y^(1/q)
< x^(1/p)*(x+y)^(1/q) + y^(1/p)*(x+y)^(1/q)
= {x^(1/p) + y^(1/p)}*(x+y)^(1/q)

両辺を (x+y)^(1/q) で割って (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ…

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108: 2011/01/30(日)04:42 AAS
>>107

x^4 =X, y^4 =Y, z^4 =Z, 3/4 =p とおくと、与式は
　X^p + Y^p + Z^p ≧ (X+Y+Z)^p,
これは >>67 (2) の形だから、>>76 と同様にして示せる。

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