[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第６章 (995ﾚｽ)
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742(1): 2012/10/24(水)00:22 AAS
>>725 (1)
{a,b,c} = {a,a,9-2a} については、 (0≦a≦9/2)
(a^2 +4)(a^2 +4){(9-2a)^2 +4} = (17^3)/4 + (2a-1)^2 {a^4 -8a^3 +21a^2 -49a + 527/4}
= (17^3)/4 + (2a-1)^2 {(a^2)(a-4)^2 +5a^2 -49a + 527/4}
= (17^3)/4 + (2a-1)^2 {(a^2)(a-4)^2 +5(a-4.9)^2 + 117/10}
≧(17^3)/4
= 1228.25 ････ 最小値 (a=1/2)
743: 2012/10/24(水)21:43 AAS
>>742
蛇足だが.....
a^4 -8a^3 +21a^2 -49a + 527/4 は a 〜 4+(1/9)√3 付近に極小をもつ。
a^4 -8a^3 +21a^2 -49a + 527/4
= 14.85284737 + 0.000303782a + {a-4 -(1/9)√3}^2･{[a+(1/9)√3]^2 +5 +2(1+12√3)/27}
> 14.85284737 + 0.000303782a
なお、極小値は 14.85412096 @ a=4.19244421181163
744: 2012/10/25(木)00:16 AAS
AA省
745(4): 2012/10/25(木)08:48 AAS
１
Let $x,\ y,\ z$ be positive real numbers with $x+y+z=1$.
Prove that : $$(x^2+y^2+z^2)^2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\geq 1.$$
２
Let $a,\ b,\ c$ be real numbers such that $\displaystyle \frac{1}{|a+b|}+\frac{1}{|b+c|}+\frac{1}{|c+a|}=3.$
Prove that :
$$\displaystyle |a|+|b|+|c|\geq \frac {3}{2}.$$
３
For positive real numbers $a,\ b,\ c$ with $a+b+c=2010$, find the minimum value of the expression:
\[\frac{b^2+c^2}{a}+\frac{c^2+a^2}{b}+\frac{a^2+b^2}{c}\]
省20
746(4): 2012/10/25(木)08:50 AAS
１１
Let $a,\ b,\ c$ be positive real numbers.\ \\
Prove that $$\log_2 \frac{(a+b)^{671}(b+c)^{671}(c+a)^{671}}{(a^{671}+b^{671})(b^{671}+c^{671}
)(c^{671}+a^{671})}\leq 2010.$$
１２
Find the possible maximum value of $a$ such that:
\[\sqrt{x^2+y^2}\geq x+y+a\sqrt{xy}\]
holds for all positive real numbers $x,\ y$.
１３
For positive real numbers $a,\ b,\ c$ with $a+b+c=abc$,
省20
747(3): 2012/10/25(木)08:53 AAS
１９
Let $a,\ b,\ c$ be positive constants.
(1) If the sum of positive real numbers $x,\ y$ equals to a constant $h$, then
Prove that : $$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\geq \frac{(a+b)^2}{h}.$$
(2) If the sum of positive real numbers $x,\ y,\ z$ equals to a constant $k$, then
use the previous result to find the minimum value of $$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}.$$
２０
Given real numbers $a,\ b,\ c$ with $abc=1$.
Prove that：
$$\frac {1}{a^{3}\left(b ＋ c\right)} ＋ \frac {1}{b^{3}\left(c ＋ a\right)} ＋ \frac {1}{c^{3}\left(a ＋ b\right)}\geq \frac {3}{2}.$$
省20
748(5): 2012/10/25(木)08:54 AAS
２６
For $a,\ b$ with $0<a<b$, Prove that :
$$\int_a^b (x^2+1)e^{-x^2}dx\geq e^{-a^2}-e^{-b^2}$$
２７
Let $a,\ b,\ c,\ d$ be real numbers such that $0<a<1,\ 0<b<1,\ 0<c<1,\ 0<d<1$ and
$a+b+c+d=2\sqrt{3}$.
Prove that :
\[\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}+\sqrt{1-c^2}+\sqrt{1-d^2}\leq 2\]
２８
Let $x,\ y,\ z$ be real numbers such that $\displaystyle 0\leq x<\frac{\pi}{4},\ 0\leq y<\frac{\pi}{4},\ 0\leq z<\frac{\pi}{4}.$
省16
749: 2012/10/25(木)10:20 AAS
アニオタきめえええええ
750(2): 2012/10/25(木)15:39 AAS
>>745-748
なんかどれも糞問題ばかりだな
何かもっと骨のある問題や興奮する問題は無いのかよ
751: 2012/10/25(木)17:06 AAS
>> 735
なかなかむずかしいなあ
752(1): 2012/10/25(木)17:17 AAS
TeXコマンド解読するのは面倒だから放置
753: 2012/10/25(木)17:27 AAS
数式全部$で囲まれてるからコピーして処理すればそのまま読めるぞ
754: 2012/10/25(木)17:41 AAS
>>745-748
外部ﾘﾝｸ:www1.axfc.net
755: 2012/10/25(木)18:28 AAS
>>750
巣に帰れ
756: 2012/10/25(木)20:40 AAS
>>752
tex じゃなくて、英語が分かんないんだろｗ
757: 2012/10/25(木)21:03 AAS
多分1回ぐらいTEX触れたことないとキツイだろ
758(1): 2012/10/25(木)23:41 AAS
中学生未満の英語力だが、バッチリ分かるぜ！
考えるな、感じるんだ！
759: 2012/10/26(金)20:42 AAS
>>750
>>758
確かにこのレベルの問題なら、数学よりも英語の方が難しいかもな
760(3): 2012/10/28(日)08:21 AAS
３３
For $ a>0\ b>0\ c>0$, prove that $\displaystyle \frac{a^3+b^3+c^3+6}{ab+bc+ca}\left(\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}\right)\geq 9.$
３４
Let $ a,\ b,\ c$ be postive real numbers such that $\displaystyle \frac{a^2+b^2}{(a+b)^3}+\frac{b^2+c^2}{(b+c)^3}+\frac{c^2+a^2}{(c+a)^3}=\frac{3}{2}$.
Prove that $\displaystyle a^2+b^2+c^2\geq \frac{3}{4}$.
３５
Let $a,\ b,\ c$ be positive real numbers.
Prove that :
\[\left(\frac{1}{a}+b\right)\left(\frac{1}{b}+c\right)\left(\frac{1}{c}+a\right)\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(b+\frac{1}{b}\right)\left(c+\frac{1}{c}\right)\geq 64.\]
３６
省14
761(3): 2012/10/28(日)08:22 AAS
４１
Let $a,b,c$ be real numbers such that $|a+b|+|b+c|+|c+a|=3$.
Prove that $(a+b)^{\frac{2}{3}}+(b+c)^{\frac{2}{3}}+(c+a)^{\frac{2}{3}}\leq 3$.
４２
Given positive real numbers $a,\ b,\ c$ with $ab+bc+ca = 1.$
Prove that :
\[ \sqrt[3]{ \frac{1}{a} + 6b} + \sqrt[3]{\frac{1}{b} + 6c} + \sqrt[3]{\frac{1}{c} + 6a } \leq \frac{1}{abc}. \]
４３
Given positive real numbers $a,\ b,\ c$ with $ab+bc+ca+abc=4$.
Prove that :
省20
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