[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第６章 (995ﾚｽ)
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808: 2012/11/03(土)02:14 AAS
>>762
５３. Prove that:
　a(a+b)^3 + b(b+c)^3 + c(c+a)^3 ≧ (2/3)^3･(a+b+c)^4.

19 = 3^2 + 3^2 + 1^2　より
　(左辺) - (右辺) = (1/27){3a^2 -3b^2 +c^2 +(7ab-22bc+11ca)/4}^2 + (3/16){a(b-c)}^2 + cyclic.
または
　(左辺) - (右辺) = (1/27){3a^2 -3b^2 -c^2 +(113ab-131bc+46ca)/28}^2 + (3/16){a(b-c)}^2 + cyclic.
[第５章.494、 504]

５５. For a>0 b>0 c>0 d>0 prove that:
　1/a + 1/b + 1/c + 1/d + 9/(a+b+c+d) ≧ 25/(4G),
　where G = (abcd)^(1/4).
　[第5章.498, 508-513]

>>791
５９. For 0≦x,y,z≦1, prove that:
　　(2^x+2^y+2^z){2^(-x)+2^(-y)+2^(-z)} ≦ 10.

〔補題〕
a≧0, b≧0　のとき
　　cosh(a) + cosh(b) ≦ 1 + cosh(a+b),
(略証)
　(右辺) - (左辺) = {cosh(a)-1}{cosh(b)-1} + sinh(a)sinh(b) ≧ 0,
または、cosh は下に凸だから、
　　cosh(a) ≦ {b + a･cosh(a+b)}/(a+b),
　　cosh(b) ≦ {a + b･cosh(a+b)}/(a+b),
辺々たす。

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