[過去ﾛｸﾞ] 集合論について (615ﾚｽ)
上下前次1-新
このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索 歴削→次ｽﾚ 栞削→次ｽﾚ 過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ
230: 2014/04/10(木)20:36 AAS
> 分出公理!->置換公理であること
？
231: 2014/04/10(木)20:41 AAS
分出公理から置換公理は出ない
232: 2014/04/10(木)21:42 AAS
>>229
累積的階層のR(ω+ω)がZCのモデルになって
置換公理以外は分出も含めて成り立つけど置換公理は満たさない
特に順序数ω＋ωが存在しない
「明らか」という言葉は簡単に証明できると言える場合以外使わない方が無難だと思う
233(1): 2014/04/10(木)22:18 AAS
僕は昔集合論を勉強し始まったころ、ZF から AC が証明できると思い込んで、
しかもそれが「直観的にも明らか」だと信じてしまっていた経験がある。
後でゲーデルやコーエンの理論を読んで、じっくり反省しました。
234(1): 2014/04/10(木)22:31 AAS
ブルバキの集合論ではACを証明してあるね
235(1): 2014/04/10(木)22:58 AAS
ちょっと初歩的な質問をさせて貰いますが,
｢ACがZFから独立である事を証明するには,ZF+¬ACのモデルの存在を言えばいい｣って言うのは何故ですか？
236: 2014/04/11(金)09:08 AAS
それだけじゃダメだけどな
237(1): 2014/04/11(金)09:15 AAS
>>233
それがあなたなりの根拠があってそう直感したということだったとしたら
おもしろいね。どういう根拠だったか知りたい。少なくとも、¬ACの独立性は
正しく直感していたということなわけだし。
>>234
なにか代わりの公理を入れて？
>>235
完全性定理
238: 2014/04/11(金)09:48 AAS
ブルバキのは確かR(x)を満たすxが存在するならその存在するもののうちひとつを表す記号(なければなんでもよい)
τ_xR(x)
があるので、これを用いれば選択関数が簡単に作れてしまうという、半ば反則的な方法をとっていたと思う。
239: 2014/04/11(金)10:34 AAS
それは選択関数そのものじゃないの？
240: 2014/04/11(金)10:57 AAS
そのものじゃないでしょ。でもすべてのx∈Xについてf(x)≠φならば、選択関数gが
g(x)=τ_y(y∈f(x))
で定義できる。
241(1): 2014/04/11(金)22:24 AAS
数理論理学的にはちょっと違うけどね。
たとえば選択公理を認めても選択函数はdefinableなもの
（上で言うところの「具体的」な函数）になるとは
限らないけど、ブルバキのτ（ι記号とも言う）を使。うなら
必ず論理式で具体的に書けるような関数になる
集合論は「明らか」だと思われるようなことに
実は数学的・論理学的にすごく微妙subtleな点があるのが面白さの一つだと思う
242: [0] 2014/04/12(土)07:59 AAS
キューネン『集合論』は、集合論の入門書ですか？それとももっとレベルが高いですか？
243: 2014/04/12(土)08:33 AAS
レベルが高い入門書です。
何年か前に30年近くぶりに新版が出て内容が一変してます。
244(1): 2014/04/12(土)09:08 AAS
ある程度集合論について知識持った方に聞きたいんですけど,
どの学年でどの程度の知識を持っているのが大体の相場なんでしょうか？
例えば, 学部○年で,松坂の集合位相入門の,濃度･順序数をほぼ完璧に理解。○年で,不完全性定理を理解。
修士or博士○年で強制法理解････とか･･
245: 2014/04/12(土)09:57 AAS
位相もちゃんとやれよ
246: 2014/04/12(土)12:19 AAS
>>241
>集合論は「明らか」だと思われるようなことに
>実は数学的・論理学的にすごく微妙subtleな点があるのが面白さの一つだと思う
それは集合論に限ったことではないと思うのだが、どう？
それに、（これも一般に）微妙な点というのは弱みであることも多い
（むしろふつううはそう）と思うが、どう？
247: 2014/04/14(月)00:34 AAS
しかし研究対象がそもそもsubtleに出来ているのなら
それをそのままsubtleに（霊妙に、とでも訳せば良いのか）理解しないといけない。
Einstein曰く、"Subtle is the Lord, but malicious He is not."
神は霊妙ではかりがたい。だが悪意は持たない。
248(4): 2014/04/14(月)07:56 AAS
>>237
根拠となったのは、以下の主張です。
ZF の任意の可算モデルを M とします。以下、ZF の論理式A(x_1, ... , x_n)
は M に変数を持つものとして解釈します。M は可算だから、整列可能。従って、
任意の論理式 A(y, x_1, ... , x_n) と M の元の列 a_1, ... , a_n に対し、
A(y, a_1, ... , a_n) なる y∈M が存在すれば、そのような y の最小限を
f(a_1, ... , a_n) とおき、A(y, a_1, ... , a_n) なる y∈M が存在しなければ、
M の最小元を f(a_1, ... , a_n) とおきます。
こうすることによって、M 上の論理式には全てスコーレム関数が定義できるわけで、
M は ZFC のモデルとなります。
省2
249: 2014/04/14(月)17:37 AAS
様相論理って面白いんですか？
結構体系が別れていて,研究分野としての整理があんまり出来ていない感じがしてるんですけど
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
あと 366 ﾚｽあります
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ
ぬこの手 ぬこTOP 0.009s