集合論について

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255: [age] 2014/04/23(水)14:16 AAS
AA省

256(1): 2014/04/23(水)21:38 AAS
論理式を使って定義できるような対象しか存在しないなら
その定義のされ方に着目することで整列順序付けができてもおかしくは無いのかな、
というイメージはあるけど。

257: 2014/04/24(木)13:53 AAS
>>256
あっ、そうだね。
私がわからないのは、整列可能性 <-> AC　の方かな？
これもそんなにおかしいことではない？

258: 2014/04/24(木)19:55 AAS
→は、考えている集合たちの要素たち全体を整列する。
あとはただ整列順序に関する a の最小要素を選べば（choiceすれば）良い。

←は、まず全体から一つ要素を選んで一番小さい 0 番目の要素とする。
次に残りから一つ要素を選んで（choiceして）その次に小さい 1 番目の要素とする。
次に残りから……
次に残りから一つ要素を選んで ω 番目の要素とする。
次に残りから一つ要素を選んで ω + 1 番目の要素とする。 ……
というのを残りが尽きるまでひたすら繰り返す。アイデアは簡単だが厳密に書くと結構分かりにくくなる。

259(1): 2014/04/24(木)20:52 AAS
>←は、まず全体から一つ要素を選んで一番小さい 0 番目の要素とする。
>次に残りから…
こう言うと、これらの操作を順々にやるように聞こえるが、ACではもちろん、
これらの操作を一気に（同時に）やるんだよね。
たしかにアイデアは簡単だ。
なのにその独立性を示すのになんで強制法もようなテクニックがいるの？

260: 2014/04/24(木)21:02 AAS
>>259
整列可能性 <-> ACの証明と、ACの独立性証明に、何か関係が？

261: 2014/04/24(木)23:24 AAS
うん、それは関係ないとは思うが、
V=Lが独立なら、CHもACも独立なのじゃなかった？
そして、V=Lが独立なのは明らかだろうと思うのだが。

262: 2014/04/25(金)00:21 AAS
怪しい表現

264: 2014/04/25(金)09:33 AAS
数学において「明らか」とか「自明」という表現は
「あまりにも簡単に証明できるのでバカバカしくて書いてられない」という
意味です。

265: 2014/04/25(金)11:43 AAS
「同語反復レベルの簡単」から「天才には簡単」まで

266: 2014/04/25(金)12:07 AAS
文脈に応じていろんな明らかがあるよ

267: 2014/04/25(金)12:16 AAS
～セミナーにて～
優秀なA君「明らかです」
馬鹿なB君「明らかです」

意味が違う

268: 2014/04/25(金)14:38 AAS
日本語を理解できない馬鹿ばっかりなのかな？

269: 2014/04/25(金)20:19 AAS
ACの独立性などに比べると不完全性定理は自明な定理だと言っても264には注意されるのかな？

270(1): 2014/04/25(金)21:05 AAS
V=L → GCH → ACなので、
ZFからACが導けないなら当然V=Lも導けないが
逆を言うのはかなり困難だと思う。
＞V=Lが独立なら、CHもACも独立なのじゃなかった？
これは何情報？

そもそもACを認めない時点で基数の一般論が
ちょっと工夫しないといけなくなるのでその時点で自明とは言い難い

271(1): 2014/04/27(日)13:47 AAS
松坂和雄の整列定理から選択公理を導くところだけど、整列集合にする順序関係
があるとしても、そのうちどれを選ぶのかということを指定するルールを明示しない
限り証明になっていない気がするんだけどあれでいいの？

272(1): 2014/04/27(日)13:57 AAS
>>181あたりからの書き込みを追ってみよう
彼と同じ勘違いをしてるみたいだから

273: 2014/04/27(日)13:59 AAS
同一人物だろ

274(1): 2014/04/27(日)14:41 AAS
Xを集合とし、X上の整列順序全体の集合を X’とする。
整列可能定理とは、任意の集合Xに対してX’≠φが成り立つということ。

選択公理とは、添え字付けられた空でない集合の族(A_λ｜λ∈∧)に対して
Π_λ A_λ ≠ φが成り立つということ。

選択公理を証明するとはすなわち、単にΠ_λ A_λ ≠ φを示すことに他ならない。
Π_λ A_λ ≠ φを示すには、空でない集合YであってY⊂Π_λ A_λを満たすものを
1つ作れば十分である。

添え字付けられた空でない集合の族(A_λ｜λ∈∧)は(∪_λ A_λ)’≠φを満たすとする。
写像 F：(∪_λ A_λ)’→ Π_λ A_λを以下のように定める。
まず、ρ∈(∪_λ A_λ)’を任意に取る。このとき、(∪_λ A_λ, ρ)は整列集合である。
省11

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