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集合論について (615ﾚｽ)
集合論について http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1384715117/
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256: １３２人目の素数さん [sage] 2014/04/23(水) 21:38:36.54 論理式を使って定義できるような対象しか存在しないなら その定義のされ方に着目することで整列順序付けができてもおかしくは無いのかな、 というイメージはあるけど。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1384715117/256
257: １３２人目の素数さん [] 2014/04/24(木) 13:53:42.75 >>256 あっ、そうだね。 私がわからないのは、整列可能性 <-> AC の方かな？ これもそんなにおかしいことではない？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1384715117/257
258: １３２人目の素数さん [sage] 2014/04/24(木) 19:55:50.83 →は、考えている集合たちの要素たち全体を整列する。 あとはただ整列順序に関する a の最小要素を選べば（choiceすれば）良い。 ←は、まず全体から一つ要素を選んで一番小さい 0 番目の要素とする。 次に残りから一つ要素を選んで（choiceして）その次に小さい 1 番目の要素とする。 次に残りから…… 次に残りから一つ要素を選んで ω 番目の要素とする。 次に残りから一つ要素を選んで ω + 1 番目の要素とする。 …… というのを残りが尽きるまでひたすら繰り返す。アイデアは簡単だが厳密に書くと結構分かりにくくなる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1384715117/258
259: １３２人目の素数さん [] 2014/04/24(木) 20:52:34.66 >←は、まず全体から一つ要素を選んで一番小さい 0 番目の要素とする。 >次に残りから… こう言うと、これらの操作を順々にやるように聞こえるが、ACではもちろん、 これらの操作を一気に（同時に）やるんだよね。 たしかにアイデアは簡単だ。 なのにその独立性を示すのになんで強制法もようなテクニックがいるの？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1384715117/259
260: １３２人目の素数さん [sage] 2014/04/24(木) 21:02:21.77 >>259 整列可能性 <-> ACの証明と、ACの独立性証明に、何か関係が？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1384715117/260
261: １３２人目の素数さん [] 2014/04/24(木) 23:24:20.17 うん、それは関係ないとは思うが、 V=Lが独立なら、CHもACも独立なのじゃなかった？ そして、V=Lが独立なのは明らかだろうと思うのだが。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1384715117/261
262: １３２人目の素数さん [sage] 2014/04/25(金) 00:21:26.05 怪しい表現 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1384715117/262
263: １３２人目の素数さん [] 2014/04/25(金) 09:30:08.22 not[ZF|-V=L], ZF|-(V=L->CH), ZF|-(V=L->AC) に比べて、 not[ZF|-AC] やnot[ZF|-not AC]を示すのが難しくなるのは どうしてだろう？ということかな http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1384715117/263
264: １３２人目の素数さん [sage] 2014/04/25(金) 09:33:35.56 数学において「明らか」とか「自明」という表現は 「あまりにも簡単に証明できるのでバカバカしくて書いてられない」という 意味です。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1384715117/264
265: １３２人目の素数さん [sage] 2014/04/25(金) 11:43:07.77 「同語反復レベルの簡単」から「天才には簡単」まで http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1384715117/265
266: １３２人目の素数さん [] 2014/04/25(金) 12:07:12.74 文脈に応じていろんな明らかがあるよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1384715117/266
267: １３２人目の素数さん [] 2014/04/25(金) 12:16:17.22 〜セミナーにて〜 優秀なA君「明らかです」 馬鹿なB君「明らかです」 意味が違う http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1384715117/267
268: １３２人目の素数さん [sage] 2014/04/25(金) 14:38:57.25 日本語を理解できない馬鹿ばっかりなのかな？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1384715117/268
269: １３２人目の素数さん [] 2014/04/25(金) 20:19:13.41 ACの独立性などに比べると不完全性定理は自明な定理だと言っても264には注意されるのかな？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1384715117/269
270: １３２人目の素数さん [sage] 2014/04/25(金) 21:05:27.46 V=L → GCH → ACなので、 ZFからACが導けないなら当然V=Lも導けないが 逆を言うのはかなり困難だと思う。 ＞V=Lが独立なら、CHもACも独立なのじゃなかった？ これは何情報？ そもそもACを認めない時点で基数の一般論が ちょっと工夫しないといけなくなるのでその時点で自明とは言い難い http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1384715117/270
271: １３２人目の素数さん [] 2014/04/27(日) 13:47:36.65 松坂和雄の整列定理から選択公理を導くところだけど、整列集合にする順序関係 があるとしても、そのうちどれを選ぶのかということを指定するルールを明示しない 限り証明になっていない気がするんだけどあれでいいの？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1384715117/271
272: １３２人目の素数さん [sage] 2014/04/27(日) 13:57:37.42 >>181あたりからの書き込みを追ってみよう 彼と同じ勘違いをしてるみたいだから http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1384715117/272
273: １３２人目の素数さん [sage] 2014/04/27(日) 13:59:12.71 同一人物だろ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1384715117/273
274: １３２人目の素数さん [sage] 2014/04/27(日) 14:41:00.77 Xを集合とし、X上の整列順序全体の集合を X’とする。 整列可能定理とは、任意の集合Xに対してX’≠φが成り立つということ。 選択公理とは、添え字付けられた空でない集合の族(A_λ｜λ∈∧)に対して Π_λ A_λ ≠ φが成り立つということ。 選択公理を証明するとはすなわち、単にΠ_λ A_λ ≠ φを示すことに他ならない。 Π_λ A_λ ≠ φを示すには、空でない集合YであってY⊂Π_λ A_λを満たすものを 1つ作れば十分である。 添え字付けられた空でない集合の族(A_λ｜λ∈∧)は(∪_λ A_λ)’≠φを満たすとする。 写像 F：(∪_λ A_λ)’→ Π_λ A_λを以下のように定める。 まず、ρ∈(∪_λ A_λ)’を任意に取る。このとき、(∪_λ A_λ, ρ)は整列集合である。 各λ∈∧に対して、f(λ)：＝min A_λとして写像 f ：∧→∪_λ A_λを定める。 ただし、右辺のminは(∪_λ A_λ, ρ)におけるminとする。従って、このfはρごとに定まる。 F(ρ)：＝f として F(ρ) を定義すれば F(ρ)：∧→∪_λ A_λである。 特にF(ρ)∈Π_λ A_λである。ρ∈(∪_λ A_λ)’だったから、以上より 写像 F：(∪_λ A_λ)’→ Π_λ A_λが定義できた。 Y＝{ F(ρ)｜ρ∈(∪_λ A_λ)’}と置けば、(∪_λ A_λ)’≠φにより Y ≠ φ である。 また、F：(∪_λ A_λ)’→ Π_λ A_λにより Y ⊂ Π_λ A_λ である。 従って φ ≠ Y ⊂ Π_λ A_λ となったので、Π_λ A_λ≠φである。以上より、次が言えた。 ・添え字付けられた空でない集合の族 (A_λ｜λ∈∧) が (∪_λ A_λ)’≠φを満たすならば、 Π_λ A_λ ≠ φである。 系：整列可能定理が成り立てば選択公理も成り立つ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1384715117/274
275: 271 [] 2014/04/27(日) 14:45:43.56 >>272 いや、>>270の人が言っている疑問とは違くて、ある集合に適切な順序関係を加えれば整列集合とすることができるので 個々の部分集合から最小値を取り出せる、よってその最小値を取り出す操作を選択関数 とするって証明に書いてある。だけどその際適切な順序関係がたくさんある中からひとつを 選ぶ操作を指定しない限り選択関数を指定していることにならないと思うんだけどどうなんだろ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1384715117/275
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