[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む21 [無断転載禁止]©2ch.net (808ﾚｽ)
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656(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/08/11(木)00:09 ID:AONA9sxo(3/47) AAS
>>655 つづき
ソリトンの花園が一転、荒野へ
大学院に進んでからもソリトン研究を続けました。修士１年の時には、あるクラスの方程式は皆２ソリトン解という２つのソリトンが安定に相互作用することを示す解を持つという新しい定理を発見して、これが戸田先生にとても褒められたのですが、学界で評価されるためには、英文論文を発表しなければなりません。
ところが、なかなか良い英文が書けない。それから２年も七転八倒して、博士課程に進んでからようやく、もっと精緻な理論で英文論文をまとめることができました。
論文は博士２年の時に、日本物理学会のJournal of Physical Society of Japanという英文論文誌に採録されました。刊行されると、世界各国の研究者から、「抜き刷りを送ってくれ」という請求のはがきを何十通ともらいました。
当時はｅメールもコピー機もない時代ですから、すべて郵便でのやりとりです。はがきはスクラップブックに大切に保存してあります。
産みの苦しみを経て、それから続けざまに８編も英文論文を書きました。「自分はようやくソリトンという神秘の花園に降り立ったんだ！」と、やる気満々だったのですが（笑）、じつはそれも残念ながら長くは続きませんでした。
というのも、佐藤幹夫先生という天才的な数学者が、代数的なアプローチでソリトンをいくつかの類型に分類してみせてしまったのです。「こういうタイプのソリトンしか現れません」と非常にスマートな説明をされてしまったために、神秘的な花園は一瞬にして、草一本生えない荒野になってしまった。
佐藤先生の研究は、私の研究を出発点の一つとしてずっと先に行ってしまったような側面があり、ソリトンは自分にとって魅力的な研究対象ではなくなってしまったんです。
省2
657(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/08/11(木)00:11 ID:AONA9sxo(4/47) AAS
>>656 つづき
諦められていた数値計算の精度
当時、数値計算の世界では、この演算の誤差を無視すること――専門用語では「丸め」とか「丸める」とか言いますが、丸めの誤差は無視する、なかったものとして諦めるのが当たり前とされていました。
そういう世界に私のような者が入っていって、「いや、精度は保証すべきです。私は決して諦めません」と宣言したのだから、かなりの異端児とみられたと思います。しかし、厳密な解を求めたい私にとっては諦めることはあり得なかったのです。
研究室の学生や海外の研究者仲間のユニークなアイディアの助けもあって、それから７、８年の間に、予想をはるかに超えるスピードで、精度保証付き数値計算は実用のものになっていきました。
そのころ、海外の共同研究者と深く討論していくうちに「精度を保証しても、計算スピードが通常の何千倍、何万倍もかかるのだったら、だれも使ってくれない。２倍程度の手間で精度保証することを目指すのが絶対必要だ」ということになりました。
これは難しいことですが、１０年近く研究してきた中でふと思い至ったアイディアがありました。実際、精度保証は近似解計算の１万倍かかると思われていたものが、ある単純な方法により、２倍に圧縮することができました。
簡単にいうと、「演算というのは１つ１つ順番にやるものだ」という固定観念から離れてみたんです。従来の考え方だと、１００個の演算に対して、誤差も逐一丸めていくことになります。
しかし、１００個の演算を一度にまとめてやるという考えに立ってみれば、丸めもその全体に対して行うという考え方ができます。まさにコロンブスの卵、「１０年間、なんでこんな簡単な方法に気づかなかったんだろう」と思ったほどです。
省3
658(1): 2016/08/11(木)00:14 ID:aDhyhZQL(1/10) AAS
つべこべ理屈捏ねてないでさっさと証明しろアホ
659: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/08/11(木)00:20 ID:AONA9sxo(5/47) AAS
>>657 補足
> 簡単にいうと、「演算というのは１つ１つ順番にやるものだ」という固定観念から離れてみたんです。従来の考え方だと、１００個の演算に対して、誤差も逐一丸めていくことになります。
>しかし、１００個の演算を一度にまとめてやるという考えに立ってみれば、丸めもその全体に対して行うという考え方ができます。まさにコロンブスの卵、「１０年間、なんでこんな簡単な方法に気づかなかったんだろう」と思ったほどです。
ここだな。ポイントは
ある天才が居て、なんでも自分で解いて証明することができた。彼は、現代数学の過去１００年の数学をすべて自力で解いて証明したとする。まあ天才だが、すべて再発見、再証明
ある人が、コロンブスの卵
簡単なことかも知れないが、ぱっとひらめいて、なにか計算の精度を上げる方法を考えた。それは、いままでに無い方法だったから、それなりに評価されたのだった
どちらが良いか
明らかだろう
省2
660: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/08/11(木)00:21 ID:AONA9sxo(6/47) AAS
>>658
くやしいのう
時枝擁護派
661: 2016/08/11(木)00:42 ID:aDhyhZQL(2/10) AAS
俺は数学的帰納法を証明しろと言ってるんだが
それに対するお前の反応
＞くやしいのう
＞時枝擁護派
アルツハイマーか？
662(1): 2016/08/11(木)00:54 ID:j8ttIyO2(1/15) AAS
記事の文脈を読み取れなかった国語力が残念なスレ主さん、>>380を読んでね
663(4): 2016/08/11(木)01:05 ID:j8ttIyO2(2/15) AAS
>>620
ほほう、与太話ねえ。与太話ってどういう意味？
取るに足らない話だ、って意味？
なら教えてくれますか？
下記[1]〜[3]は正しいのか？
それともx,y∈R^Nのどちらを選んでもゲームに勝てないのか？
> >［1］x,y∈R^Nがそれぞれ自然数dx,dyに紐づいている
> >［2］であれば、xとyのどちらかを選べば、大きい自然数を選んだか、または小さい自然数を選んだことになる
> >［3］大きい自然数を選べば負け、小さい自然数を選べば勝ち
664(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/08/11(木)08:25 ID:AONA9sxo(7/47) AAS
>>656 補足
>佐藤幹夫先生という天才的な数学者が、代数的なアプローチでソリトンをいくつかの類型に分類してみせてしまったのです。
下記ご参照
外部ﾘﾝｸ:researchmap.jp
資料公開
外部ﾘﾝｸ:researchmap.jp
ソリトンの数学 講座「数学の発見」（数学書房主催）2008 年 5 月 31 日配布
外部ﾘﾝｸ:researchmap.jp
武部尚志 - 研究者 - researchmap:
プロフィール
省8
665(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/08/11(木)08:42 ID:AONA9sxo(8/47) AAS
>>664 補足
梶原健司”数学を学んでいると，ともすればその精緻さと壮麗な体系に圧倒されがちですが，この記事で数学が「生きている」さまを感じていただければと思います． ”
辺りは、>>197の￥さんが言ったような問題意識>>5と通じるものがあるだろう
外部ﾘﾝｸ[pdf]:gandalf.math.kyushu-u.ac.jp
公開講座の資料 「ソリトン〜不思議な波が運んできた，古くて新しい数学の物語」梶原健司 入門レベル 2002年 8月9日，公開講座「現代数学入門」での講義
外部ﾘﾝｸ:gandalf.math.kyushu-u.ac.jp
梶原健司
「ソリトンと逆散乱法：歴史的視点から(1)」(ロバート・ミウラ著，及川正行・梶原健司訳) 数学セミナー2008年8月号
「ソリトンと逆散乱法：歴史的視点から(2)」(ロバート・ミウラ著，及川正行・梶原健司訳) 数学セミナー2008年9月号
特に，ロバート・ミウラ氏の記事は，数学科で学ぶ人には是非一度見ていただきたいと思います．
省2
666: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/08/11(木)08:57 ID:AONA9sxo(9/47) AAS
>>665 補足
これ、連載の７だから、下記の学会誌「ながれ」のバックナンバーを探せば、連載全部そろうだろう
日本流体力学会誌だから、数値計算向けに分かり易く書いていると思う
外部ﾘﾝｸ[html]:www.nagare.or.jp
連載?非線形波動−ソリトンを中心として− 第7章 佐藤理論入門 及川正行 (Adobe PDF416KB) ながれ 第32巻 (2013)
外部ﾘﾝｸ[html]:www.nagare.or.jp
刊行物 :: 学会誌「ながれ」｜一般社団法人 日本流体力学会:
外部ﾘﾝｸ[html]:www.nagare.or.jp
ながれ :: 第32巻 (2013) :: 第2号 2013年4月 発行
667(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/08/11(木)09:34 ID:AONA9sxo(10/47) AAS
>>665 補足
十河清先生 北里を定年退官されたとあるが
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kitasato-u.ac.jp
数学と物理学の間 北里大学 理学部 物理 十河清 （「1995 年度八王子数学ジュニア・セミナー夏の学校」における高校生向け講義レジュメ）
外部ﾘﾝｸ[html]:www.kitasato-u.ac.jp
北里大学理学部 物理学科 十河 清 東京大学大学院理学系研究科博士課程修了。理学博士。
専攻は統計力学，数理物理学。「素朴な疑問」を研究の糧にしたいと考えています。 わからないことだらけなのですが，現在の関心は「なぜ時間反転不変性が破れているのか？」という， いわゆる時間の矢に係わる問題群です。月並みな言い方をすれば「非平衡統計力学」ということになります。
また，学生時代にバクスター熱という新型イジング病に罹って以来，厳密に解ける問題に心引かれる習性が もはや本性となっていますが，そもそも「なぜ完全積分可能系などというものがあるのか？」というのも謎です。 最近は「離散＆周期ソリトン系」という特殊な種族の可積分系に熱中しています。
省4
668(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/08/11(木)09:44 ID:AONA9sxo(11/47) AAS
>>667 補足
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kitasato-u.ac.jp
数学と物理学の間 北里大学 理学部 物理 十河清 （「1995 年度八王子数学ジュニア・セミナー夏の学校」における高校生向け講義レジュメ）
(抜粋)
1 はじめに−数学と物理学の関係
この章では数学と物理学の関係について簡単に議論する。一般にこれに対する答えは数学者と物理学者とで異なるであろう。
物理学の徒である筆者がこれだと考える回答は、次のディラックの意見である。英語のまま引用するので、読んでみて欲しい。
The steady progress of physics requires for its theoretical formulation a mathematics that gets continually more advanced.
This is only natural and to be expected.
What, however, was not expected by the scientific workers of the last century was the particular form that the line of advancement of the mathematics would take, namely, it was expected that the mathematics would get more and more complicated,
省5
669(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/08/11(木)09:46 ID:AONA9sxo(12/47) AAS
>>668 つづき
この文章は、有名な「磁気単極子の理論」を展開した論文の冒頭の一節であるが、これを書いたときディ
ラックは29 才であった。この３年前の1928 年には「相対論的電子の理論」を書き、いわゆるディラック方程
式を提出している。これらの業績によって、1933 年にはノーベル物理学賞を受賞することになる。
さて確かに歴史を省みれば、ニュートン以来物理学は数学を応用して来たのではなくて、むしろ数学を作っ
て来たと見ることができる。こう言うと、数学者は直ぐに「整数論」や「群論」は物理学由来ではない、と反
論するかも知れない。しかし、口の悪い物理学者は「数学者は自分の作った理論の使い道を知らない」と言う
であろう。群論は今や物理学に必須であり、そのうちに整数論もそうなるかも知れない兆候がある。
なにはともあれ、この講義ではニュートン・ライプニッツの完成した「微分積分学」の中から、tan^-1 x を
題材にして、それが現代の物理学でどのように使われているかを紹介したいと思う。話題は単に微分積分に留
省4
670(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/08/11(木)09:49 ID:AONA9sxo(13/47) AAS
>>669 つづき
4 まとめ−いま数理物理学になにが起きているのか
この章では、前章で述べた「ソリトンの数理」をその一部として含む数理物理学の世界でいまなにが起きて
いるのかを簡単に紹介して、本講義のまとめに代えたいと思う。専門用語が説明無しに出て来るけれども、お
話と思って聞いてもらいたい。若い世代に多いといわれる「やることはもう残っていないのではないか」とい
う考えが誤解であって、たくさんのおもしろい問題が解決を待っていることを感得して頂ければ、充分である。
前章で紹介した「ソリトン物理学」における非線形発展方程式（サイン・ゴルドン方程式）の厳密解は、数
理物理学における最近の成果のひとつである。ソリトン方程式が厳密に解くことができるのには、理由があ
る。この1960 年代後半に始まった「ソリトン方程式の数理の解明」をきっかけとして、いま数理物理学の世
界では、物理学と数学のいろいろな分野にわたってお互いに密接に関係しあいながら、ひとつの大きな「数
省11
671(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/08/11(木)09:54 ID:AONA9sxo(14/47) AAS
>>668-670 補足
”若い世代に多いといわれる「やることはもう残っていないのではないか」という考えが誤解であって、たくさんのおもしろい問題が解決を待っていることを感得して頂ければ、充分である。”
と、”\さん「そういう風に考えなければ、数学はこのまま死んでしまう。ソレはアカン。」>>585”という話
同じなんだよね
672(1): 2016/08/11(木)10:14 ID:BG5Qksh1(1/13) AAS
>>671
\の「そういう風に考えなければ、数学はこのまま死んでしまう。ソレはアカン。」
というセリフはスレ主の間違いに気付かなかった私に対していったセリフだ。
だが、スレ主は間違いをしていたから、このセリフは今となっては意味はない。
このセリフの意味は、よい問題を見つけて解いていかないと数学は進歩しない、
ということにある。非可測な集合上の確率論を確立しようとすると連続体仮説の
問題が絡む。ちなみに、コンピュータのアルゴリズムの話をしていたが、
そのアルゴリズムは、特許とかの問題に進展することがあることは分かっているか。
673(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/08/11(木)10:16 ID:AONA9sxo(15/47) AAS
>>670 補足
「無限次元の確率論」が分からんが、下記
外部ﾘﾝｸ[php]:www.shinshu-u.ac.jp
無限次元現象の解明を目指して 現在の研究テーマ：無限次元空間上の発散定理 信州大学 理学部 乙部 厳己 数学科
現在までの歴史上、数学のみならず諸科学まで含めて最も大きな影響を及ぼした定理は何かといえば、おそらく間違いなく微積分の基本定理だといえると思います。
微積分の基本定理とは（1 次元のときに）微分と積分がお互いに逆の演算であることを主張するものです。
これは領域の内部全体での関数の値の和が、その原始関数の境界での値の差に等しいことを主張し、関数の形を適切に与えることで領域の内部における情報を外周部だけで理解できることを示しています。
この事実は多次元でも一般に成り立っていることを示したのがガウスによる発散定理です。
このような関係は解析学の最も基礎をなすものであり、たとえば関数概念そのものを拡張するにはいくつかの方法が知られています（総称して超関数と呼びます）が、いずれにせよ根底にはこの事実があるといってよいと思います。
もちろんそれだけではなく、ベクトル解析など多くの応用の基礎となると同時に現代幾何学の基礎の一つといってもよいと思います。例えるならば、うまく関数を設置してから家の周りを一周すれば、知りたかった家の中の状況がわかるということを述べているわけです。
省3
674(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/08/11(木)10:20 ID:AONA9sxo(16/47) AAS
>>673 つづき
しかし1970 年代の末頃から、確率論のある種の研究の中でこれら両者はついに融合点を見いだし、測度論に基づいた無限次元空間上の完全な微積分の理論が完成します。
この理論は通常、この方向への最初の突破口を開いた数学者の名前をとってマリアヴァン解析と呼ばれています。
ところが、この理論は空間全体での部分積分の成立を示してはいますが、有限次元の場合とは異なり発散定理のような領域についてはなかなか困難がありました。
有限次元の場合には有界な集合上でまず理論が作られ、むしろ空間全体へ議論を拡張するときに困難があったのとは全く対照的です。
これは（ベクトルの大きさが自然に考えられる）自然な空間においては、有界閉集合がコンパクトと呼ばれるよい集合になる必要十分条件が有限次元であることであるということからくることですが、この事実が発散定理の定式化を極端に難しくします。
球に相当するような滑らかな領域ではすでに発散定理は定式化できていましたが、長方形のような形 に相当する角のある領域についても発散定理をマリアヴァン解析の枠組みで完全に定式化することを目指しています。
研究領域：確率解析
20 世紀初頭にアインシュタインによってブラウン運動が理論的に取り扱われると、数学的な対象としてブラウン運動を定式化することも行われました。
それは[0, 1] 区間から連続関数全体が作る無限次元空間へのよい写像をフーリエ解析の手法で構成し、その空間に確率測度を導入するという方法であり、現在ではその測度はウィナー測度と呼ばれています。
省3
675(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/08/11(木)10:24 ID:AONA9sxo(17/47) AAS
>>674 つづき
1942 年、当時内閣統計局におられた伊藤清先生は「Markoff 過程ヲ定メル微分方程式」という革命的な論文を発表され、そこでは現在に至っても未だ神秘さを失わないブラウン運動の軌道に関する積分（伊藤積分）の方法と同時に、確率微分方程式が定義・定式化され、もしその方程式がただ1 つの解を持つならば拡散過程であることが示されていました。
また、その中には後年伊藤公式と呼ばれるようになる伊藤過程を伊藤積分と通常の積分とに分解する公式もすでに現れていました。
しかしこの時点では係数に滑らかさを要請せざるを得ないなどの弱点もありました。
その後解を持つための条件は1950 年代後半ころに丸山議四郎・スコロホッドらによって完全に弱められました。
しかし、拡散過程の構成に関しては、田 中洋・スコロホッドによる解析的研究でも完全な解決はできませんでした。
この問題は1960 年代後半にストゥルックとヴァラダンがこれら両者を統合する形で完全に解決しました。
ただし伊藤の一意性と呼ばれる概念との関係は、1970 年代初頭に渡辺信三・山田俊雄らによる確率微分方程式論の完成まで待つ必要がありました。
拡散過程は実はある種の微分作用素や偏微分方程式の背後での動きを捉えている（全体の「平均」をとるとそれらが現れる）のですが、関数解析的手法でしばしば必要になる楕円性という条件が一切仮定されていません。
これは大きな利点ですが、その分布や平均といった偏微分方程式の解が微分できるかどうかという問題は確率論の中では長く未解決のまま残されていました。
省2
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