[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む23 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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1(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/09/18(日)09:27 ID:9cd3XTDs(1/51) AAS
旧スレが500KBオーバー間近で、新スレ立てる
このスレはガロア原論文を読むためおよび関連する話題を楽しむスレです（最近は、スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。ガロア関連のアーカイブの役も期待して。）
過去スレ
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む22 2chｽﾚ:math
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む21 2chｽﾚ:math
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む20 2chｽﾚ:math
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む19 2chｽﾚ:math
同18
2chｽﾚ:math
同17
省25
2(16): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/09/18(日)09:29 ID:9cd3XTDs(2/51) AAS
（時枝問題をまだ引っ張ってます。なので、件数稼ぎを兼ねて、記事再録します）
前々スレ>>2 再録 （現代数学の系譜11 ガロア理論を読む18）
１．時枝問題（数学セミナー2015.11月号の記事）の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる.
今度はあなたの番である.片端から箱を開けてゆき中の実数を覗いてよいが，一つの箱は開けずに閉じたまま残さねばならぬとしよう.
どの箱を閉じたまま残すかはあなたが決めうる.
勝負のルールはこうだ. もし閉じた箱の中の実数をピタリと言い当てたら，あなたの勝ち. さもなくば負け.
勝つ戦略はあるでしょうか?」
3(13): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/09/18(日)09:30 ID:9cd3XTDs(3/51) AAS
（まあ、時枝記事が書いていることが分からないと、スレの住人も困るだろうから）
２．続けて時枝はいう
私たちのやろうとすることはQのコーシー列の集合を同値関係で類別してRを構成するやりかた(の冒頭)に似ている.
但しもっときびしい同値関係を使う.
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s 〜 s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する.
〜は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.
幾何的には商射影 R^N→ R^N/〜の切断を選んだことになる.
任意の実数列S に対し，袋をごそごそさぐってそいつと同値な(同じファイパーの)代表r= r(s)をちょうど一つ取り出せる訳だ.
省7
4(7): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/09/18(日)09:31 ID:9cd3XTDs(4/51) AAS
（趣旨は同じ）
３．つづき
問題に戻り，閉じた箱を100列に並べる.
箱の中身は私たちに知らされていないが， とにかく第l列の箱たち，第2列の箱たち第100 列の箱たちは100本の実数列S^1,S^2，・・・，S^lOOを成す(肩に乗せたのは指数ではなく添字).
これらの列はおのおの決定番号をもつ.
さて， 1〜100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
第1列〜第(k-1) 列，第(k+1)列〜第100列の箱を全部開ける.
第k列の箱たちはまだ閉じたままにしておく.
省10
5(6): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/09/18(日)09:32 ID:9cd3XTDs(5/51) AAS
前々スレ>>614 再録 （現代数学の系譜11 ガロア理論を読む18）
数学セミナー201511月号P37 時枝記事に、次の一文がある
「R^N/〜 の代表系を選んだ箇所で選択公理を使っている.
その結果R^N →R^N/〜 の切断は非可測になる.
ここは有名なヴィタリのルベーグ非可測集合の例(Q/Zを「差が有理数」で類別した代表系， 1905年)にそっくりである.」
さらに、前スレでは引用しなかったが、続いて下記も引用する
「逆に非可測な集合をこさえるには選択公理が要る(ソロヴェイ， 1970年)から，この戦略はふしぎどころか標準的とさえいえるかもしれない.
しかし，選択公理や非可測集合を経由したからお手つき， と片付けるのは，面白くないように思う.
現代数学の形式内では確率は測度論によって解釈されるゆえ，測度論は確率の基礎， と数学者は信じがちだ.
だが，測度論的解釈がカノニカル， という証拠はないのだし，そもそも形式すなわち基礎， というのも早計だろう.
省1
6(7): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/09/18(日)09:32 ID:9cd3XTDs(6/51) AAS
>>6の続きを、前々スレ>>176 （現代数学の系譜11 ガロア理論を読む18）より 再録
数学セミナー201511月号P37 時枝記事より
「もうちょっと面白いのは，独立性に関する反省だと思う.
確率の中心的対象は，独立な確率変数の無限族
X1，X2，X3，…である.
いったい無限を扱うには，
(1)無限を直接扱う，
(2)有限の極限として間接に扱う，
二つの方針が可能である.
確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義されるから，(2)の扱いだ.
省8
7(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/09/18(日)09:33 ID:9cd3XTDs(7/51) AAS
前スレ>>224 再録 （現代数学の系譜11 ガロア理論を読む19）
まず、数学セミナー201611月号の記事で、引用していなかった部分を、以下に引用する（＾＾；
”ばかばかしい，当てられる筈があるものか，と感じられるだろう.
何か条件が抜け落ちているのではないか，と疑う読者もあろう.問題を読み直していただきたい.
条件はほんとうに上記のとおり.無限個の実数が与えられ，一個を除いてそれらを見た上で，除いた一個を当てよ，というのだ.
ところがところが--本記事の目的は，確率99%で勝てそうな戦略を供することにある.
この問題はPeter Winkler氏との茶のみ話がてら耳にした.氏は原型をルーマニアあたりから仕入れたらしい.”
この部分を掘り下げておくと
１．時枝氏は、この記事を、数学の定理の紹介とはしていないことに気付く
２．”Peter Winkler氏との茶のみ話がてら耳にした.氏は原型をルーマニアあたりから仕入れたらしい.”と
省8
8(26): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/09/18(日)09:36 ID:9cd3XTDs(8/51) AAS
前スレ（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む22）より 再録
656 自分返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/09/17(土) 15:07:32.42 ID:MokdApDK [28/44]
>>632
ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス（ Hilbert’s paradox of the Grand Hotel ）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
を例にして補足しておく
１．ヒルベルトの無限ホテルで、A棟とB棟と二つあったとする。両棟とも、可算無限の部屋がある
２．一方、区間（０，１）に存在する有理数は可算無限だから、この有理数とA棟とをヒモ付け（全単射）できる
３．同じように、区間（１，２）に存在する有理数と、B棟とをヒモ付け（全単射）できる
４．さて、区間（０，２）存在する有理数（但し１を除く）で、A棟とB棟の全部屋を整列させることができる（∵ 実数に通常の順序を入れることができる）
省3
9(24): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/09/18(日)09:37 ID:9cd3XTDs(9/51) AAS
前スレ（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む22）より 再録
658 自分返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/09/17(土) 15:21:17.00 ID:MokdApDK [29/44]
>>656
さらに補足しておく
１．区間（０，１）で、分数列 1/2,1/3,1/4,1/5,・・・,1/n,1/(n+1),・・・ を考える。
２．この分数列と、ヒルベルトの無限ホテルのA棟の部屋番号とのヒモ付け（全単射）をする
３．お分かりのように、区間（０，１）で０に近づくほど、分数列の密度はどんどん上がっていく
４．同様に、区間（１，２）ではは、区間（０，１）を＋１平行移動させれば良い。
つまり、分数列 1+1/2,1+1/3,1+1/4,1+1/5,・・・,1+1/n,1+1/(n+1),・・・ を考える
５．区間（１，２）で１に近づくほど、この分数列の密度はどんどん上がっていくんだよ
省2
10(21): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/09/18(日)09:38 ID:9cd3XTDs(10/51) AAS
>>9
４．同様に、区間（１，２）ではは、
↓
４．同様に、区間（１，２）では、
11(21): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/09/18(日)09:39 ID:9cd3XTDs(11/51) AAS
前スレ（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む22）より 再録
673 自分返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/09/17(土) 22:51:45.53 ID:MokdApDK [40/44]
>>658
さらに補足しておく
１．>>658では、B棟の範囲のみランダムにシャッフルしたが、もし、A棟の例えば、1/2とか1/3とかに相当する部屋の中の数を変えると、決定番号は有限にはならないね
２．>>658では、A、B棟 ２棟を考えたが、棟の数は増やせる。３棟、４棟・・・と
12: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/09/18(日)09:39 ID:9cd3XTDs(12/51) AAS
前スレ（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む22）より 再録
674 自分返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/09/17(土) 23:02:43.81 ID:MokdApDK [41/44]
>>654
>無限級数に対してよくある誤解
ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
(抜粋)
新たな客は1人どころか、複数でも、（可算）無限でもよい。例えば、1号室の客を2号室へ、2号室の客を4号室へ、3号室の客を6号室へ、…、n 号室の客を 2n 号室へ、…と移せば、1号室、3号室、5号室、…つまり奇数号室は空室になるから、無限の客を新たに泊めることができる。
さらに次のようなこともできる。それぞれに無限の乗客が乗った無限台の車がホテルに乗りつけたとする。この場合、まず奇数号室を上のようにして空け、1台目の乗客を 3n（n = 1, 2, 3, …）号室に、2台目の乗客を 5n（n = 1, 2, 3, …）号室に、…というふうに入れる。i 台目の乗客は pn（ここで p は i + 1 番目の素数）に入れればよい。
現実にある（2室以上ある）有限ホテルでは、当然奇数号室の数は全室数より少ないが、無限ホテルではそうではない。数学的には、全室からなる集合の基数（有限集合における要素の個数に当たる）は、その真部分集合である奇数号室すべての集合の基数と等しい。これは無限集合の特徴である。この可算無限集合の基数は アレフ 0 と表される。
省1
13: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/09/18(日)09:40 ID:9cd3XTDs(13/51) AAS
前スレ（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む22）より 再録
675 自分返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/09/17(土) 23:11:52.43 ID:MokdApDK [42/44]
>>654
>無限級数に対してよくある誤解
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
デデキント無限
デデキント無限集合であるとは、A と同数（equinumerous）であるようなA の真部分集合B が存在することである。それはつまり、A とA の真部分集合B の間に全単射が存在するということである。
選択公理との関係
整列可能な任意の無限集合はデデキント無限である。
ACは任意の集合が整列可能であることを述べた整列可能定理と同値であるから、ACから無限集合はデデキント無限集合であるということが簡単に導かれる。
14: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/09/18(日)09:40 ID:9cd3XTDs(14/51) AAS
前スレ（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む22）より 再録
676 自分返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/09/17(土) 23:35:07.44 ID:MokdApDK [43/44]
>>654
>で、そもそも、>>632にあるように、時枝は前提として、「箱がたくさん，可算無限個ある.箱」としている。
>だから、箱に連番を振れば、自然数全体の集合 N= {0,1,2,3,・・・}であり、これはωだ
補足すると、>>674で「ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス」と>>675で「デデキント無限」で説明した通りだが、「箱がたくさん，可算無限個ある.箱」なので下記
前々スレ 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む20
2chｽﾚ:math
4 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2016/06/19(日) 04:53:04.24 ID:suG/dCz5 [4/23]
（時枝記事抜粋）
省12
15(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/09/18(日)09:42 ID:9cd3XTDs(15/51) AAS
前スレ（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む22）より 再録
687 自分返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/09/18(日) 07:05:24.54 ID:9cd3XTDs [6/16]
>>682 補足
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
コーシー列 - Wikipedia
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www2.math.kyushu-u.ac.jp
実数の構成に関するノート 原 隆 （九州大学数理学研究院）Juy 10, 2007
(抜粋)
3.1 同値類と商集合
念のため：この商集合の元は上で定義した同値類，つまりA の部分集合である．同値類や商集合を考える事で，も
省12
16(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/09/18(日)09:43 ID:9cd3XTDs(16/51) AAS
前スレ（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む22）より 再録
689 自分返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/09/18(日) 07:40:53.50 ID:9cd3XTDs [8/16]
>>687 補足
みなさんご存知の通り、実数を構成するコーシー列の場合、
”次に，同値関係〜 であるが，これはA の２つの元{xn} と{yn}（どちらも有理数のコーシー列である）に対して，
{xn} 〜 {yn} とはlim n→∞ | xn - yn | = 0 となること (3.2.3)
と定義する（上の極限はすべて，有理数の範囲で，通常の∈-N で定義できている）” by 実数の構成に関するノート 原 隆
である
省6
17: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/09/18(日)09:45 ID:9cd3XTDs(17/51) AAS
前スレ（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む22）より 再録
524 自分：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/09/11(日) 08:03:48.06 ID:ExO0BbwP [2/6]
>>518
>自然数全体の集合は有界ではないが、1つ1つの自然数は
>どれも有限値である。何がおかしいんだ？
さてその上で、下記ご参照
外部ﾘﾝｸ[html]:rikei-index.blue.coocan.jp
理系インデックス
外部ﾘﾝｸ[html]:rikei-index.blue.coocan.jp
無限級数に対してよくある誤解
省18
18: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/09/18(日)09:46 ID:9cd3XTDs(18/51) AAS
前スレ（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む22）より 再録
654 自分返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/09/17(土) 14:28:31.05 ID:MokdApDK [26/44]
>>646-648
>>524より再録
無限級数に対してよくある誤解
(抜粋)
参考
次の無限はすべて意味が異なる。
（１） 無限級数としての無限
（２） 帰納法としての無限
省18
19: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/09/18(日)10:27 ID:9cd3XTDs(19/51) AAS
前スレ（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む22）より 再録
504 自分返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/09/10(土) 14:02:19.43 ID:q7Skbg74 [4/14]
>>502 補足
そこらの勘違いが、この問題のキモだと思うよ (後述の英文サイトなどもご参照)
決定番号 d(s) の確率を考えようとすると、自然に決定番号 d(s) の分布が問題になる
例えば、 d(s) が仮に一様分布だとしよう。外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org 一様分布 - Wikipedia
（引用）
確率変数を x ( α＜ x ＜ β )とする。 x が整数であるときの離散型の一様分布の確率分布 Pr ( x = X )、 一様分布の確率密度関数は以下の式で定義される。
1/(β − α)
またいずれの場合も確率の期待値は以下で表される。
省9
20: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/09/18(日)10:28 ID:9cd3XTDs(20/51) AAS
前スレ（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む22）より 再録
506 自分返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/09/10(土) 14:06:19.94 ID:q7Skbg74 [6/14]
>>502 補足
>決定番号は有限値だとクギをさしておく。
>s∈R^N を取るごとに決定番号 d(s) は有限値である。
>ただし { d(s)｜s∈R^N } ⊂ N は有界ではない。
こういう記述は素朴で微笑ましいが、このスレを低レベルのカキコで埋めて貰っても仕方ないので書いておく
人は、古代ギリシャから無限の存在に気付いていた
古くは、アキレスと亀 外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
１９世紀 カントールに代表される無限集合の研究で、可算無限、連続無限が意識されるようになった 外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
省13
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