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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net (716ﾚｽ)
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299: １３２人目の素数さん [sage] 2016/11/14(月) 04:12:39.61 ID:OPksCmfn ＞10）なお、単純に、赤い箱だけを先に並べ、青い箱をその後ろに並べたと考えれば、分かり易いだろ？ それは、選択公理で可能だ 時枝の記事にある「可算無限個の箱」という設定を そのように解釈することは確かに可能である。 しかし、その設定は R^N の中で記述できない。 なぜなら、R^N では青い箱に対応する添え字が存在しないからだ。 もちろん、R^N 以外の体系を持ってくれば記述可能だし、 その体系において「時枝の記事は不成立」と主張する分には全く構わない。 そんなのはスレ主が勝手に吠えてればいい(バカじゃねーの)。 しかし、その設定が R^N の中で記述できるとしているスレ主は明確に間違っている。 ＞（自然数を並べ変えた1,3,5,・・・,2n-1,・・・, 2,4,6,・・・,2n,・・・という数列は、not ∈R^N ・・とか、存在しないとかいう声が聞こえてきそうだな・・おい（＾＾； ） 察しがいいな。もちろん、そのとおり。 1,3,5,・・・,2n-1,・・・,2,4,6,・・・,2n,・・・ に対応する R^N の数列は存在しない。 もし存在するなら、それを y∈R^N とするとき、 y_1＝1, y_2＝3, y_3＝5, … とするしかないので、y＝1,3,5,・・・,2n-1,・・・ となってしまい、 y_n＝2 を満たす n が存在しない。だから、R^N の中には存在しない。 並べ替えがどうこうとか、数学的帰納法とか、そういう問題ではない。 どういう屁理屈を経由しようとも、y_n＝2 を満たす n が存在しないのだから、 その時点でアウト。スレ主のキマイラ数列は R^N の中では決して記述できない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/299
300: １３２人目の素数さん [sage] 2016/11/14(月) 04:37:33.25 ID:OPksCmfn 結局は>>280に帰着される。 R^N の中で記述できないとなると、周囲の人間からは ＞もちろん、R^N 以外の体系を持ってくれば記述可能だし、 ＞その体系において「時枝の記事は不成立」と主張する分には全く構わない。 ＞そんなのはスレ主が勝手に吠えてればいい(バカじゃねーの)。 という評価にしかならず、自分の主張の存在感がなくなってしまう。 だから、何としても「R^N の中で記述できる」ということにしておきたいわけだ。 しかし、実際には R^N の中では記述できない。 選択公理だの数学的帰納法だの赤い箱だのと言って、キマイラ数列の構成の仕方を変更しても無駄。 結局は y_n＝2 を満たす n が存在しないのだから、どんな構成を経由しても同じことで、 R^N の中では決して記述できない。 スレ主はどうも「キマイラ数列の構成の仕方の問題」にすり替えようとしているが、 そういう問題ではないのだ。構成の仕方の如何によらず、結局は y_n＝2 を満たす n が 存在しないのだから、どんな構成を経由しても同じことで、R^N の中では決して記述できない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/300
301: １３２人目の素数さん [sage] 2016/11/14(月) 19:10:33.87 ID:IQpprmLG >>293-294 > 連接で 1,3,5,・・・,2n-1,・・・,2,4,6,・・・,2n,・・・という数列を作る 出題者がそのような数列Sを出題したとしても解答者は100列の数列をSのアタマから順番に a1, a101, a201, a301, ... : 数列の長さはω a2, a102, a202, a302, ... : 数列の長さはω 以下同様にして a99, a199, a299, a399, ... : 数列の長さはω a100, a200, a300, a400, ... : 数列の長さはω と構成すれば an = 2n - 1 となって上の数列Sの後ろの部分 bn = 2n は解法に出現しないので 解答者が行う作業の中にキマイラ数列は一切出現しない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/301
302: １３２人目の素数さん [sage] 2016/11/16(水) 01:17:08.76 ID:7tk3QJ0z ここまで引っ張っといて R^Nの定義を勘違いしてましたテヘ じゃすまねーぞおいｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/302
303: １３２人目の素数さん [sage] 2016/11/16(水) 01:22:54.21 ID:7tk3QJ0z > y_n＝2 を満たす n が存在しない。だから、R^N の中には存在しない この説明で分からないのは確信犯のプロとしか考えられんだろｗ スレ主はR^Nの定義を言ってみろよ。どうせ独自定義なんだろ？ｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/303
304: １３２人目の素数さん [sage] 2016/11/16(水) 09:08:52.36 ID:c4B4b8Br >>292 そもそも4で選択公理使ってねえ 自然数から奇数を取り出すのは分出公理であって選択公理じゃねえよ 自身の論理に権威持たせるために知ったかで知らない数学持ち出すのやめよう http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/304
305: １３２人目の素数さん [] 2016/11/16(水) 10:50:12.10 ID:P/Rjx/d+ スレ主は何処で選択公理が要るのかも分からん馬鹿か 低脳にもほどがあるwww http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/305
306: １３２人目の素数さん [sage] 2016/11/16(水) 16:17:43.23 ID:YcEvAvac スレ主の主張は、次の2つの条件(1)、(2)を満たすような 2つの単調増加列 {a_n}, {b_n} が存在することはあり得ない こと(を示すこと)によって、否定される。但し、自然数は正とする。 (1)：任意の自然数nに対して各第n項は a_n＝2n-1, b_n＝2n と表わされる、 (2)：n≧N のとき a_n＜b_1 なるような自然数Nが存在する。 条件(1)、(2)を満たすような2つの単調増加列 {a_n}, {b_n} 及び正の自然数Nが存在するとする。 任意の自然数nに対して第n項を c_n＝1/a_n, d_n＝1/b_n とおくことで、 2つの数列 {c_n}, {d_n} を定義する。条件(1)から、任意の自然数nに対して c_n＝1/(2n-1), d_n＝1/(2n) だから、 0＜…＜d_{n+1}＜c_{n+1}＜d_n＜c_n＜d_1＜c_1 従って、{c_n}, {d_n} は単調減少列である。 条件(1)の {b_1} についての定義から b_1＝2 だから、条件(2)から、n≧N のとき a_n＜2 であり、 また条件(1)の {a_n} が満たすべき条件と n≧0 とから a_n＞0 なので、1/2＜1/a_n。 従って、{b_n}, {c_n}, {d_n} の各定義に注意すると、n≧N のとき c_n＞1/2＝1/b_1＝d_1 となる。 {c_n}, {d_n} は単調減少列で、c_1＞d_1 だから、正の自然数N について N≦1 から N＝1。 従って、任意の自然数nに対して c_n＞d_1 が成り立つ。 しかし、{c_n} は単調減少列で、c_n＞d_1 なる正の自然数nは n＝1 に限られる。 これで矛盾が導けた。 スレ主の「連接」何チャラに関する主張は、 モノイド云々以前に数列(微分積分以前)の問題に帰着して否定出来る。 だから、スレ主の「連接」何チャラの主張は標準的な考え方では正しくないことになる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/306
307: １３２人目の素数さん [sage] 2016/11/16(水) 16:25:18.12 ID:YcEvAvac >>306の訂正： n≧0 とから a_n＞0 → n≧1 とから a_n＞0 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/307
308: １３２人目の素数さん [sage] 2016/11/16(水) 16:49:26.33 ID:YcEvAvac >>293 >自然数を並べ変えた1,3,5,・・・,2n-1,・・・, 2,4,6,・・・,2n,・・・という数列は、not ∈R^N ・・ このような書き方だと、2つの数列 >1,3,5,・・・,2n-1,・・・、 >2,4,6,・・・,2n,・・・ を書いていることになって、1つの数列を上のようには書けない。 スレ主の書き方には不備がある。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/308
309: １３２人目の素数さん [] 2016/11/16(水) 21:43:51.86 ID:WZ1ygUx+ スレ主は数列が何なのかわかってない つまり大学一年一学期の勉強すらまともにやってない バカのくせに勉強嫌いｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/309
310: １３２人目の素数さん [sage] 2016/11/18(金) 07:30:11.75 ID:wBezoyR9 >>293 おっちゃん(=>>306-308)です。 >>306の更なる訂正： >条件(1)の {b_1} についての定義から b_1＝2 だから の部分の「{b_1}」は「{b_n}」に訂正。ついでに、>>308についてだが、 >1,3,5,・・・,2n-1,・・・∈R^N のように書くと、「R^N」の部分が「R」の書き間違いだった場合 文脈上曖昧な書き方になる恐れがあるので、そのようには書かずに、 単純に「{a_n}∈R^N」みたいに書いた方がいい。 まあ、>>306は少し端折った部分があるから、数列が分かっていない といわれたスレ主は、自分の身のためにも再構成して読むことだ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/310
311: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/19(土) 10:52:43.52 ID:0Q0Vh9CE レベル合わせその2 （>>263関連） ＜無限とは＞ １）（再録>>263）”無限（むげん、infinity）とは、限りの無いことである。 直感的には「限界を持たない」というだけの単純に理解できそうな概念である一方で、直感的には有限な世界しか知りえないと思われる人間にとって、無限というものが一体どういうことであるのかを厳密に理解することは非常に難しい問題を含んでいる。” https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90 より ２）無限大は存在しますか？ 2013年7月29日 https://qixil.jp/q/1491 最も支持が多い回答 柳生 三最 Lv.2 2013年7月30日 数学者ではありませんが、高校の数学を思い出して説明しますと Sn = 1 + 1/2 + 1/3 + ・・・ + 1/n という式が発散するのは高校の数学で習いました。 y = 1/x の積分を利用して評価するやつです。詳しい説明は省略します。 nが大きくなればなるほど増加する値は小さくなるのにSnが無限大に発散するのは不思議ですね。 しかしこれはある条件付きです。それは「nを無限に大きくし続ける事」です。 nの値をある場所で止めてしまったとたん、Snは有限値になります。 無限大の説明をしているのに、その説明の中で無限大を使ってしまうのは何ともナンセンスな気もしますが。。。 質問者様の数直線上に還元しての考えですが、 「直線」・・・無限に続く両端のない直線 「線分」・・・任意の点A,B を両端とするまっすぐな線 「半直線」・・・直線のどちらか一端がある 多少表現が間違っているかもしれませんが、ニュアンス的にはこんな感じだったと思います。 つまり、直線で考えている以上、両端は存在せず、無限大の点は置く事が出来ないということになります。 というわけで、私の考えでは、無限大は存在するが、表現する事は出来ない。と思います。 -------追記 あらゆる実数に対する有限回数の四則演算の繰り返しから無限大は導き出されうるかという問いに関しては、「有限回数」と含まれている限り、それは有限値になると思われます。 -------追記 Sn = 1 + 1/2 + 1/3 + ・・・ + 1/n An = 1/n Snはnを大きくすると大きくなり続けます → 発散 → ∞ と表記する Anはnを大きくすると限りなく0に近づきます → 収束 → 0 と表記する ではないでしょうか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/311
312: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/19(土) 10:54:14.59 ID:0Q0Vh9CE >>311つづき ３）ここで強調しておきたいことは、上記２）のように、”「直線」・・・無限に続く両端のない直線”で、この数直線上の整数の点、もっと限定すれば自然数ｎの点を考える。 ｎは確かに有限である。しかし、ｎには限りがないという意味で、無限である。これで直感的に理解できると思うが、「ｎは確かに有限であるが、自然数の集合Nは無限集合」 もっと言えば、ｎの取り得る範囲は、0≦ｎ＜∞ 、”0から∞を考えるべし”というのが正解だ。 ”ｎの取り得る範囲は？”と聞かれて、”有限”と答えるのは、ばつ。従って、ｎの最大値も有限ではない！（ここはしっかり区別願いたい） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/312
313: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/19(土) 10:56:12.48 ID:0Q0Vh9CE >>312つづき ＜デデキント無限とヒルベルトの無限ホテル＞ １）デデキント無限 https://dspace.wul.waseda.ac.jp/dspace/handle/2065/5203 無限集合の定義について 高瀬礼文 早稲田商学 1982 https://dspace.wul.waseda.ac.jp/dspace/bitstream/2065/5203/1/92460.pdf (抜粋) Cantor集合論の基礎に置かれた“無限”の定義は，今日Dedekind無限 と名づげられている次のようなものである。 「全体（自分自身）と1対1に対応するような真部分集合を内部に含む集合。」 (引用終り) ２）ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AE%E7%84%A1%E9%99%90%E3%83%9B%E3%83%86%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9 パラドックスの内容 客室が無限にあるホテルを考える。現実にある客室が有限のホテルの場合には、「満室である」ということと「もう1人も泊められない」ということは同値である。しかし「無限ホテル」ではそうはならない。 無限ホテルが「満室である」としよう。この場合でも次のようにして新たな客を泊めることができる。客室数は無限とはいえ 1, 2, 3, … と番号を付けられる。客が1人来たら、1号室にいた客を2号室へ、2号室の客を3号室へ、3号室の客を4号室へ、…、n 号室の客を n + 1 号室へ、…と順番に移す。客室は無限にあるのだから誰もあぶれることはない。 新たな客は1号室に泊めればよい。新たな客は1人どころか、複数でも、（可算）無限でもよい。例えば、1号室の客を2号室へ、2号室の客を4号室へ、3号室の客を6号室へ、…、n 号室の客を 2n 号室へ、…と移せば、1号室、3号室、5号室、…つまり奇数号室は空室になるから、無限の客を新たに泊めることができる。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/313
314: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/19(土) 10:57:06.66 ID:0Q0Vh9CE >>313つづき さらに次のようなこともできる。それぞれに無限の乗客が乗った無限台の車がホテルに乗りつけたとする。この場合、まず奇数号室を上のようにして空け、1台目の乗客を 3^n（n = 1, 2, 3, …）号室に、2台目の乗客を 5^n（n = 1, 2, 3, …）号室に、…というふうに入れる。i 台目の乗客は p^n（ここで p は i + 1 番目の素数）に入れればよい。 現実にある（2室以上ある）有限ホテルでは、当然奇数号室の数は全室数より少ないが、無限ホテルではそうではない。数学的には、全室からなる集合の基数（有限集合における要素の個数に当たる）は、その真部分集合である奇数号室すべての集合の基数と等しい。 これは無限集合の特徴である。この可算無限集合の基数は aleph _{0}（アレフ・ゼロ、アレフ・ヌル）と表される。 (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/314
315: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/19(土) 10:58:18.18 ID:0Q0Vh9CE >>314つづき ＜一般のR^ Nについて＞ １）無限列 ( s n ) ∈ R^ N https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6) 関数 (数学) - Wikipedia: (抜粋) 一般化 数列 有限集合からの関数は実質的に数の組あるいは数列と呼ばれるものになる（適当な演算をいれてベクトルと見ることもできる）。それはつまり、集合の各元に序列を与えて {1, 2, ..., n} と並べるとき、k = 1, 2, ..., n に対して xk = x(k) を対応付ける関数 x を ( x 1 , x 2 , … , x n ) ∈ R^ n のかたちに表すのである。これは有限列であるが、無限列 ( s n ) n ∈ N ∈ R^ N を考えれば、それは各自然数 n に対して、数 sn を対応させる s : N → R ; n → s n という関数を考えていることに他ならない。もっと一般に数の族を考慮に入れれば、通常の実関数 f = f(x) を x を添字に持つ実数の族 ( f x ) x ∈ R ∈ R^ R と読みかえることができる。 (引用終り) ２）”任意の実数αは有限または無限小数で表わされる”→つまり、無限列は現代数学に必須だよ（実数が存在しなくなる）！ なお、強調しておくが、「R^ N は無限次元！→無限次元だから、次元はデデキント無限！」だと http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1161211256 大学での数学の問題 任意の実数αは有限または無限小数で表わされることを示せ meshigasuki2455さん 2011/4/30 Yahoo!知恵袋 (抜粋) 実数Rを1, 1/10 1/100・・・・とくぎって考えればいいらしいのですが 筋道が全く見当がつきません 示すに至る過程を教えていただけないでしょうか (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/315
316: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/19(土) 11:02:10.19 ID:0Q0Vh9CE >>315つづき さて、本論１ ＜時枝記事では、R^ Nは未定義。だから、R^ Nをどう解釈が問題となる＞ １．時枝記事では、R^ Nは未定義：>>114に引用の通り。 ２．だから、”可算無限個の箱”から類推解釈するしかない。 が、上記の通り、”R^ N は無限次元！→無限次元だから、次元は当然デデキント無限！”と考えるべし ３．実際、>>115のように時枝記事でも”問題に戻り，閉じた箱を100列に並べる”としているが、100列を、>>114の実数列の集合 R^Nと比較しているのだから、正にデデキント無限→ヒルベルトの無限ホテルのロジックを使っている！！ つまり、客室が無限にあるホテルで、部屋番をｎ→(1+100*n,2+100*n,・・・,99+100*n,1+100*n) | n=1,2,3,・・・ とできる それぞれ、可算無限だ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/316
317: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/19(土) 11:03:28.67 ID:0Q0Vh9CE >>316つづき ＜時枝記事のR^ Nとヒルベルトの無限ホテル＞ １．ちょっと、順序集合と”直積集合上の順序”とを復習しておこう https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E9%9B%86%E5%90%88 順序集合 (抜粋) 数学において順序集合（じゅんじょしゅうごう、英: ordered set）とは「順序」の概念が定義された集合の事で、「順序」とは大小、高低、長短等の序列に関わる概念を抽象化したものである。ただし、順序集合内の2つの元 a, b に順序関係が定まっている（「比較可能」である）必要はなく、両者が「比較不能」であってもよい。 比較不能のケースを許容していることを強調して順序集合の事を半順序集合（はんじゅんじょしゅうごう、英: partially ordered set, poset）ともいう。一方、半順序集合の中で比較不能のケースがないものを特に全順序集合 (totally ordered set) という。（「半順序」という言葉が「全順序」の対義語ではない事に注意。全順序集合も半順序集合の一種である。） 直積集合上の順序 ふたつの半順序集合（の台集合）の直積集合上の半順序としては次の三種類が考えられる。 ・辞書式順序: ( a , b ) ? ( c , d ) ? a < c ∨ ( a = c ∧ b ? d ) ・積順序: ( a , b ) ? ( c , d ) ? a ? c ∧ b ? d ・ ( a , b ) ? ( c , d ) ? ( a < c ∧ b < d ) ∨ ( a = c ∧ b = d ) 最後の順序は対応する狭義全順序の直積の反射閉包である。これらの三種類の順序はいずれもふたつよりも多くの半順序集合の直積に対しても同様に定義される。 体上の順序線型空間に対してこれらの構成を適用すれば、結果として得られる順序集合はいずれもふたたび順序線型空間となる。 (引用終り) 注意：辞書式順序の図が、載ってます。直線で表現されている。つまり、辞書式順序では直積だが１次元で表現できると http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/317
318: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/19(土) 11:04:34.30 ID:0Q0Vh9CE >>317つづき ２．ところで、上記で奇数偶数で考えて、部屋番をｎ→(1+2*n,2+2*n) | n=1,2,3,・・・ としよう 当然（デデキント無限でもあり）、奇数偶数とも可算無限。 ヒルベルトの無限ホテルが２棟ある。左の棟と右の棟。左の棟に右の棟の奇数番の客を移す。左の棟の奇数番の部屋に入ってもらう。 直積で書くと、左をa,右をbとして、左の棟は（a,2n+1）,右の棟は（b,2n） ホテル左右の棟の客室の集合は、{（a,1）,（a,2）,・・・,（a,2n+1）,・・・,（b,2）,（b,4）,・・・,（b,2n）,・・・} 辞書式順序を採用して、定義：a < b かつ 数字は普通の大小関係とする これで、ホテル左右の棟の客室の集合は、順序集合として定義された。 順序集合{（a,1）,（a,2）,・・・,（a,2n+1）,・・・,（b,2）,（b,4）,・・・,（b,2n）,・・・}の部屋に、数を入れると数列になる。 というか、もともとの時枝記事の”可算無限個の箱”から出発して、選択公理などを使えば、上記の順序集合は（現代数学として）構成可能。そして、明らかに∈R^ N （∵右の棟の奇数番は空き部屋だから、左の棟の客を戻す逆操作も可。だから、集合全体としては、順序を無視すれば、なんら変化していない。） 注：直積を考えるまでもない単純な話だが、反論を封じるために、あえて直積から直積集合上の順序集合を構成した。 なお、”∈R^ N”は、時枝記事の決定番号を考慮しなければ、数学的にはなんら問題とならないことを注意しておく （”決定番号が有限”と整合しないだけの話） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/318
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