[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net (716ﾚｽ)
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487(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/26(土)18:51 ID:Py08+Ohv(22/40) AAS
>>485
>スレ主は(R^Nの)任意の無限数列が出題可能であると仮定しているのでしょう？
当然。>>114 「可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる. どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.もちろんでたらめだって構わない.」とあるとおり
その後の記述は意味がわからん
540(7): 2016/11/27(日)09:59 ID:C7ghjjL/(1/11) AAS
>>480
>どうやって、無限数列のしっぽを見分けるのか？
>（時枝記事の>>114 推移律チェックは、「無限数列のしっぽが見分けられたら」
>が前提であることを、再度注意しておくよ）
>>114の記事の
>２．続けて時枝はいう
> 私たちのやろうとすることはQのコーシー列の集合を同値関係で類別して
>Rを構成するやりかた(の冒頭)に似ている. 但しもっときびしい同値関係を使う.
>実数列の集合 R^Nを考える.
>s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，
省12
548(9): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/27(日)12:58 ID:dKz7cXDk(24/37) AAS
>>540 >>542-545
おっちゃんらしい外し方だな
当方が、>>480で聞いたことは、下記
”どうかおっちゃんの数学センスをみせてくれよ（＾＾；
どうやって、無限数列のしっぽを見分けるのか？
（時枝記事の>>114 推移律チェックは、「無限数列のしっぽが見分けられたら」が前提であることを、再度注意しておくよ）”
これを、時間の順でステップ分けして書くと
１）無限数列のしっぽを見分ける
↓
２）しっぽの一致不一致が分かる
省10
568(2): 2016/11/27(日)16:31 ID:C7ghjjL/(6/11) AAS
>>548
>どうやって、無限数列のしっぽを見分けるのか？
>（時枝記事の>>114 推移律チェックは、「無限数列のしっぽが見分けられたら」が前提であることを、再度注意しておくよ）”
Nで1以上の自然数全体の集合を表わす。xy平面 R^2 上で、すべての n∈N に対して、x座標がnの点 P(n) を通りx軸に垂直
な直線 L(n) を引く。直線 L(n) 上の1点から R^2 上の右側に向けx座標を増加させながら曲線 C(n) を引く。
いわゆる、幾何的には高校で習うような関数のグラフを考えることになる。すると、各 C(n) n∈N に対して、
数列空間 R^N の点 s＝(s_1, s_2, s_3,…) の全体が構成される。そこでスレ主が>>548で
>１）無限数列のしっぽを見分ける
> ↓
>２）しっぽの一致不一致が分かる
省8
606(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/12/03(土)10:41 ID:6Rgz8i9T(2/41) AAS
>>605 つづき
で、例えば、話は変わるが、仮に、下記”超越数かどうかが未解決の例”「e+π、e-πが有理数であるのか無理数であるのか証明されていない」を認めるとしよう
また、十進法で、下記”有理数”で「有限小数または循環小数のいずれかとなる」ことも認めよう。
もし、０が続くことを循環小数に含めるなら（1/3=0.333・・・の類似）、循環小数かどうかを見極めることができるなら、有理数であるのか無理数であるのか見分けることが可能だということだ
つまり、実数を無限小数に展開したときに、そのしっぽを見れば、循環小数かどうかを見極めることができ、有理数か否か判定可能
ところが、「e+π、e-πが有理数であるのか無理数であるのか証明されていない」のだから、現代数学は、いまだe+π、e-πの少数展開のしっぽが循環小数かどうかを見極める方法を持たないということだ
これは、>>575 時枝解法での可算無限のしっぽの見分け>>114が、箱に０〜９の極簡単なミニモデルでさえも、現代数学では不可という例示だ
つまり、e+πの少数展開からなる十進法の数の各位取りの数から成る数列を考えたとき、現代数学では実数しっぽの見分け（有理数か無理数か）ができない
（もし実数しっぽの見分けができるから、循環小数かどうかすぐ分かるはず）
もちろん、いずれ時代が進んで、不可能が可能になることもあるだろう
省9
610(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/12/03(土)10:56 ID:6Rgz8i9T(5/41) AAS
>>608 つづき
さらに、箱に０〜９で有限数列 a0,a1,a2,a3,・・・・,anを考えてみよう
１．逆に、数列の頭での同値類を考えよう。>>114の２項にならって、推移律をチェックすることは容易だ
２．決定番号は、類別の同値類の代表元Ad=(a0,a1,a2,a3,・・am,・・,an)と、その類の任意の元A'=(a0,a'1,a'2,a'3,・・a'm,・・,a'n) との比較で、
(a0,a1,a2,a3,・・am)と(a0,a'1,a'2,a'3,・・a'm)とが一致するとき（当然これ（a'm）以降は不一致）に、決定番号をmとする
３．決定番号mの確率分布を考えると、m=1の確率が一番高く、m=1の場合の数は、10^n-10^(n-1)
（説明：10^nは、a1からanまでの順列の場合の数で、10^(n-1) は、a2からanまでの順列の場合の数で、決定番号2以上の順列の場合の数を除いている）
４．同様に、決定番号m=xの場合の数は、10^(n+1-x)-10^(n-x)
５．同値類の集合の濃度は、A'=(a0,a'1,a'2,a'3,・・a'm,・・,a'n) の順列全てであるから、10^n
６．これから分かることは、決定番号m=xの場合の確率Px＝(10^(n+1-x)-10^(n-x) )/10^n＝10^(1-x)-10^(-x)＝9*10^(-x)。
省2
614(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/12/03(土)11:15 ID:6Rgz8i9T(9/41) AAS
>>605つづき
ところで
＜数学は、同値を定義し、推移律を確認すれば終わりなのか？＞
１．同値を定義し、推移律を確認したところから、数学が始まるのでは？
２．例えば、下記サーストンによる幾何化予想、コンパクト3次元多様体の8つの部分多様体による分類。これはまさに上記の例では？
（同値を定義し、推移律を確認したところから、数学が始まる）
３．だから、>>114の”同値を定義し、推移律を確認すれば終わり”という書き方は、有限を扱うならまだしも、可算無限を扱うには、あまりにも粗雑だろう
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
(抜粋)
幾何化予想（きかかよそう、Geometrization conjecture）は、1982年にアメリカの数学者ウィリアム・サーストンによって提出された「コンパクト3次元多様体は、幾何構造を持つ8つの部分多様体に分解される」という命題。
省3
638: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/12/03(土)15:18 ID:6Rgz8i9T(32/41) AAS
>>114 あと、いままで押さえて言ってない話が、計算複雑性理論
「〜は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.」>>114
は、計算複雑性理論からは現実的実行は無理だよ（実行不可能）
これは、数学的可否の理論よりずれているから、いままで出さなかったが
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
計算複雑性理論
計算複雑性理論（けいさんふくざつせいりろん、computational complexity theory）とは、計算機科学における計算理論の一分野であり、アルゴリズムのスケーラビリティや、特定の計算問題の解法の複雑性（計算問題の困難さ）などを数学的に扱う。計算量理論、計算の複雑さの理論、計算複雑度の理論ともいう。
「計算量」と「計算複雑性」はともに computational complexity に対応する語であるが、個々のアルゴリズムの効率に着目する文脈では「計算量」が広く用いられるのに対し、問題に内在する本質的困難さを表す意識からは「複雑性」「複雑さ」が好まれる傾向がある。
概要
省5
651: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/12/03(土)18:40 ID:6Rgz8i9T(39/41) AAS
>>647
時枝記事の問題点>>114-115 を、まとめておく
１．そもそも、可算無限の数列のしっぽなんて、「同値から推移律確認！ はいおわり」 それですむ話じゃないだろう
２．コーシー列はヒルベルト空間内だが、時枝記事のR^Nはヒルベルト空間外。ヒルベルト空間外の数列は扱いが難しい。ま、そこらがトリックのネタだろう
３．”しっぽが一致する”を実際の数列について、判別する方法（実行方法）が与えられていない（絵に描いた餅だ。数列の最初から見て行っては終わらない）
４．決定番号があやしい。特に、決定番号の確率分布がすそが重い（超ヘビー）確率分布になるから、99/100が言えない（∵大数の法則も中心極限定理も不成立だから）
５．さらに、確率分布の変数として、決定番号を見たときに、定義域は[1, ∞)となる。だから、∞まで考える必要がある。この点からも、99/100は簡単に言えない
６．０〜９の数を箱に入れる極簡単なミニモデルでも、可算無限数列のしっぽは、現代数学では扱えない
（このミニモデルでは、実数の無限小数展開と平行して論じられるので、便利なのだが）
まして、任意の実数が箱に入る場合（つまり１つの箱に連続無限大の自由度があるモデル）においておや
656: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/12/03(土)19:42 ID:6Rgz8i9T(40/41) AAS
>>650
はいはい
訂正しておくよ
（訂正開始）
2016年の現時点では、ある実数が、下記のような収束級数として、与えられたときに、e＋πなどは、無限小数展開で、有理数であるのか無理数であるのか証明されていない」、つまり判別できない
有理数は、無限小数展開で、循環小数になることが分かっている（「数の体系の広がり, 周期積分, そして整数論-- 代数と幾何と解析の交わる世界--」落合理 P2より）
だから、e＋πなどは、無限小数展開のすその方で、循環小数になるか否か現時点では不明
さて、e＋πの無限小数展開から、時枝記事の数列a0,a1,a2,a3,・・・・,an,・・・ が構成可能だ
ところで、e＋πなどは、無限小数展開のすその方で、循環小数になるか否かが分からないとなにが不都合か？
>>114 2項で「〜は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく」となっているので、この実行が時枝解法のキモ
省20
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