[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む27 [無断転載禁止]©2ch.net (517ﾚｽ)
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228(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/02(月)08:33 ID:MUXssChK(12/59) AAS
つづき
1 Introduction
The starting point of Cedric Villani's work goes back to the introduction of entropy in the nineteenth century
by L. Carnot and R. Clausius. At the time, entropy was a vague concept and its rigorous definition had to
wait until the fundamental work of L. Boltzmann who introduced nonequilibrium statistical physics and the
famous H functional. Boltzmann's work, though a fundamental breakthrough, did not resolve the question
concerning the nature of entropy and time arrow; the debate on this central question continued for a century
until today. J. von Neumann, in recommending C. Shannon to use entropy for his uncertainty function,
quipped that entropy is a good name because ”nobody knows what entropy really is, so in a debate you will
always have the advantage".
省10
229(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/02(月)08:34 ID:MUXssChK(13/59) AAS
つづき
5 Conclusion
In Villani's work, we have seen not only rigorous mathematical analysis providing deep insights into physical
behavior, but also important new mathematics emerging from the study of natural phenomena, in the spirit
of Maxwell and Boltzmann. Besides his research articles, Villani has written extensive surveys and books
[48, 50, 49, 51], and, through these, as well as the insights of his work, he has inspired a generation of
young mathematicians with deep, rich, physically motivated mathematical questions. We are witnessing the
beginning of Villani's spectacular career and in
uence in shaping the directions of analysis and mathematics.
(引用終り)
230(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/02(月)08:46 ID:MUXssChK(14/59) AAS
外部ﾘﾝｸ:ar
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省20
231: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/02(月)08:47 ID:MUXssChK(15/59) AAS
>>230
これを全部１列につなぐとNGワードだと
腐った板にも困ったものだ
232: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/02(月)08:49 ID:MUXssChK(16/59) AAS
ふーん
?url
=http%
最後、いろいろ改行を入れて、上記を切ったら、OKだった
いま、２行をつなぐとNGだと
運営たちは狂っている・・・
233: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/02(月)08:52 ID:MUXssChK(17/59) AAS
>>230 は、>>227の40↑ (en) Horng-Tzer Yau, ≪ The Work of Cedric Villani ≫, ICM Proceedings, Congres international des mathematiciens,? 2010 (lire en ligne [archive] [PDF]). のURLだったのだが・・
これを通すのに、３０分ほどロスした
が、NGワードが分かったので、次から役立つ
234: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/02(月)09:04 ID:MUXssChK(18/59) AAS
>>228
（google訳）
1はじめに
Cedric Villaniの研究の出発点は、L.CarnotとR. Clausiusによる19世紀のエントロピーの導入に戻ります。
当時、エントロピーは漠然とした概念であり、その厳密な定義は、非平衡統計物理学と有名なH関数を導入したL. Boltzmannの基本的な作業まで待たなければならなかった。
ボルツマンの仕事は、基本的な画期的な進歩であっても、問題を解決しなかった
エントロピーと時間の性質についてこの中心的な問題に関する議論は、今日まで1世紀にわたって続けられた。
J.フォン・ノイマンは、C. Shannonに不確実性関数のためにエントロピーを使用するよう勧告するにあたり、「誰もエントロピーが本当に何であるかを知っているわけではないので、エントロピーは良い名前だ」と断言した。
Villaniの最初の結果は、エントロピーとその散逸の間の基本的な関係についての懸念を報告します。
この作業では、厳密な数学的分析は、強力な分析スキルの表示ではなく、自然に関する深い洞察につながることがわかります。
省4
235: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/02(月)09:05 ID:MUXssChK(19/59) AAS
>>229
（google訳）
5。結論
Villaniの研究では、マックスウェルとボルツマンの精神において、肉体的な振る舞いに深い洞察を与える厳密な数学的分析だけでなく、自然現象の研究から生まれた重要な新しい数学も見てきました。 彼の研究論文に加えて、Villaniは広範な調査と書籍を書いている
[48、50、49、51]、そしてこれらを通して、彼の仕事の洞察を深く、豊かで、肉体的に動機づけられた数学的な質問を持つ若い数学者に鼓舞した。
私たちはVillaniの壮大なキャリアの始まりと、分析と数学の方向性を形作ることに目を向けています。
236(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/02(月)09:06 ID:MUXssChK(20/59) AAS
>>229 つづき
Villani has written extensive surveys and books
[48, 50, 49, 51], and, through these, as well as the insights of his work, he has inspired a generation of
young mathematicians with deep, rich, physically motivated mathematical questions.
237(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/02(月)09:18 ID:MUXssChK(21/59) AAS
>>226 関連
外部ﾘﾝｸ[pdf]:mathsoc.jp
鵜飼 正二(東工大) ボルツマン方程式の研究 --過去と未来-- 日本数学会・2010
(抜粋)
ボルツマン方程式はL.ボルツマンが1872年に導いた非平衡希薄気体の
運動方程式である．彼の目的は当時定式化が完成した熱力学をニュート
ン力学により基礎付けることにあった．
当時は既に全ての物理現象は単一の基本原理により記述されね
ばならないという信念(principle of the first principle)が広く受け入れら
れており、熱力学をニュートン力学に基づいて構築しようという試みは
省9
238: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/02(月)09:19 ID:MUXssChK(22/59) AAS
つづき
このアイデアがニュートン力学と相性が良いのは明らかであろう。原
理的には全ての粒子の位置と速度をニュートンの運動方程式から求めれ
ば気体の微視的状態が分かる。しかし解くべき方程式の個数は膨大(アボ
ガドロ数)であり、解くことはおろか、それと同数の初期データを準備す
ることは実行不可能である。しかし多数の粒子が衝突を繰り返すと個々
の粒子は個性を失い、平均的・統計的な扱いが意味を持つようになる。
ボルツマンが着目した統計量は１粒子相空間（位置-速度空間) におけ
る気体粒子の密度（単位体積あたりの粒子質量の合計）である。
古典的な密度分布は実空間の統計量であるが、相空間では粒子速度と
省9
239: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/02(月)09:19 ID:MUXssChK(23/59) AAS
つづき
マクスウエル分布は，マクスウエルがボルツマン方程式に先立ち1859
年に統計的考察により導いたものである.明らかにQ(M) = 0が成り立つ
ので、ρ, u, T がt, xによらない定数ならばMはボルツマン方程式の定常
解である。すなわち
? 平衡状態はマクスウエル分布以外にあり得ない.
? マクスウエル分布はボルツマン方程式に埋め込まれている.
これよりボルツマンは熱力学のニュートン力学的基礎を築いたと主張
した。しかしこれに対して多くの反論が提起され、ボルツマンとの間で
激しい論争が繰り広げられたことは科学史上の有名な挿話である.
省12
240: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/02(月)09:20 ID:MUXssChK(24/59) AAS
つづき
時間大域的解の存在定理
最初の存在証明はカーレマン(1932)に遡る．ただし、f が変数xに依存し
ない場合（空間一様）の，剛球気体についての結果．
(参考) ナヴィエ-ストークス方程式のルレイによる弱解の構成: 1934
しかしその後長い間殆ど研究の進展がなかった。その理由の１つのは衝
突断面積Bの持つ強い特異性である．
グラッドのカットオフ近似
この困難を回避するため1963年にグラッドは特異点の近傍でB を有界関
数で置き換えることを提案した。このときQは積分作用素として適切に
省7
241: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/02(月)09:20 ID:MUXssChK(25/59) AAS
つづき
初期値問題の大域解- カットオフ近似
1. L∞理論：平衡解に近い解、スペクトル解析＋ブートストラップ論法
鵜飼(’74, ’76), 西田-今井(’76), 静田-浅野(’78) …
2. L1理論：振幅に制限のない解、繰り込み理論＋H定理
Diperna-Lions(’89), Hamdache (’92) …
3. L2理論：平衡解に近い解、マクロ・ミクロ分解＋エネルギー法
Liu-Yang-Yu(’04), Guo(’04)…
ほぼ15年ごとに技術革新が生み出されてきた．
次の技術革新が待たれる．
省2
242(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/02(月)09:28 ID:MUXssChK(26/59) AAS
>>237 つづき
”当時は既に全ての物理現象は単一の基本原理により記述されね
ばならないという信念(principle of the first principle)が広く受け入れら
れており、熱力学をニュートン力学に基づいて構築しようという試みは
ごく自然なものであった．”
Villani のフィールズ賞はこの延長上
物理→数学
２０世紀の後半から、この流れが復活したようだ
もっとも、Villaniがなにをしたのか、いまいちよくわからん
だれか、日本語の解説を書いてくれないかね（＾＾
省1
243: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/02(月)09:52 ID:MUXssChK(27/59) AAS
>>236 関連
>as well as the insights of his work, he has inspired a generation of
>young mathematicians with deep, rich, physically motivated mathematical questions.
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kagawa-nct.ac.jp
平成１０・１１年度 国専協・教育改善共同プロジェクト 数学談話会 平成１１年１月
特別講演（薩摩順吉氏）（東京大学教授）Junkichi SATSUMA 東京大学工学部物理工学教室
大学で数学をどう教えるか －数学専攻でない学生への数学教育－
(抜粋)
筆者は後述するような日本的分類では数
学者ではない．数学を応用する立場で研究
省19
244: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/02(月)09:52 ID:MUXssChK(28/59) AAS
つづき
長期間専門的訓練を受け選別された少数の祭司たちが，
民衆には絶対わからない言語を使って秘儀
を行なっているわけである3．
数学の発展過程の中で，上記のような形
容が使われるほど一般化抽象化が進んだの
であるが，それは今世紀に入ってからがい
ちじるしい．
特に1940 年代からフランス
の数学者集団ブールバキ（BOURBAKI）が
省16
245: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/02(月)09:52 ID:MUXssChK(29/59) AAS
つづき
ここで，日本特有の状況についてふれて
おきたい．日本では古くから純粋数学指向
の傾向が強かった．理学部数学科はほとん
ど純粋数学者で占められており，応用数学
は数学研究の中で低い水準のものであると
みなされてきた．もちろん数学科の中にも
応用数学関係の講座も存在するが，応用と
いっても世界的にみるときわめて数学の色
彩の強いものである．日本で応用数学とい
省18
246: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/02(月)09:53 ID:MUXssChK(30/59) AAS
つづき
それほどではないが，似た状況
が今でも存在しているともいえるであろう．
外国ではこういった障壁はあまりない．
また研究の上で数学という言葉が示す範囲
も広い．たとえば筆者が過去に訪問したア
メリカの地方大学の理学部数学科の場合，
その構成は数学以外に基盤をもつ応用数学
者が半数，情報コンピュータ関係の研究者
が4 分の1，そして残りの4 分の1が日本的
省13
247(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/01/02(月)09:54 ID:MUXssChK(31/59) AAS
つづき
要するに
数学を専門としない学生にとっても数学
は基礎的言語であるので，むずかしいとい
って放棄することはできない．何のために
数学をやるのかという問いに対して，ごく
少数が頭のトレーニングと答えたほか，ほ
とんどすべての学生は専門で必要であるか
らと答えている．そのようなとき，数学精
神の育成という観点からだけでの教育は不
省38
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