現代数学の系譜11 ガロア理論を読む27 [無断転載禁止]©2ch.net

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410: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/08(日) 19:08:32.67 ID:Fnfn48Mf

>>383

アナログ重力，流体，ブラックホール と、Unruh 先生

https://www.researchgate.net/publication/297738858_Transformation_Physics_and_Camouflage_in_Japanese
https://www.researchgate.net/profile/Tomohiro_Amemiya2/publication/297738858_Transformation_Physics_and_Camouflage_in_Japanese/links/56e2a05b08aebc9edb1b91d7.pdf?origin=publication_detail
変換物理学とカモフラージュ
(抜粋)

4. 2 Unruh の流体ブラックホール

本論文の主題の光学迷彩は2006 年ごろから研究が
本格化した比較的新しい研究分野であるが[3], [4]，そ
の源であるアナログ重力の理論は，とても長い歴史を
もっている．アナログ重力の研究で一つの画期を成し
た論文は，1981 年に理論物理学者のW.G. Unruh が
発表した「Experimental Black-Hole Evaporation?
（実験的ブラックホール蒸発）」という文献である[17]．
論文において，Unruh は流体中を伝播する波と，曲
がった時空中のスカラー場の伝搬の類似を発見した．
まずは出発点として，普通の流体現象を考えよう．流
体は非回転的で，速度場は回転をもたない∇× v = 0
とする．すると流体の運動方程式と連続の式は

この式は一見煩雑なだけの微分方程式に見えるが，じ
つは美しい幾何的解釈ができる．というのも，式(27)
は，次の計量テンソルをもつ曲がった時空中のスカ
ラー場の波動方程式に他ならないからである．

この流体と重力の類似は，単なるアナロジーでは
なく，様々な応用を与えるアイデアである．例えば
Unruh はこの論文において，Hawking の予言したブ
ラックホールからの熱輻射という量子論的現象を，こ
の流体における類似物で実験的に確認することができ
ることを示唆した．これは，ブラックホールにまつわ
る様々な理論的予言を，テーブルトップの実験で確認
できることを意味する．また我々は，Unruh の発見し
たアナログ重力の視点が，やがては光学迷彩の設計理
論へと結びついてくることを知っている．今後も様々
な物理系をアナログ重力の観点から見直すことで，思
わぬ発見が現れてくると期待される．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/410

412: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/08(日) 20:02:11.45 ID:Fnfn48Mf

>>411
ＥＭＡＮ先生の一般相対論 アインシュタインのテンソル式の導出、秀逸だね、感心した（＾＾
（文字化けあるので、原文見てください）
http://eman-physics.net/relativity/ein_eq.html
ＥＭＡＮの物理学・相対性理論・重力場の方程式へ:
(抜粋)
一般相対論の原理
　さあ、いよいよ仕上げである。ここまでの知識を使って、物質の存在と重力の起源を結び付ける方程式を組み立てよう。

組み立て開始
　前回話したように、ニュートン力学での重力場の源は「質量密度ρ」であった。特殊相対論では質量とエネルギーが等価であることが導かれたので、重力の源は「エネルギー密度」だと言い換えても良いだろう。
しかしエネルギー密度は単独ではテンソルではないから、式の中に持ち込むとしたら、運動量密度などと一緒にした「エネルギー運動量テンソル」を使うべきであろう。それで、これを重力場の方程式の右辺に持ってくることにする。
これはつまり「重力場の源は質量である」と考えていた古い形式を拡張して、「重力場の源はエネルギー運動量テンソルである」という考えを新しく採用することを意味する。

右辺のエネルギー運動量テンソルが 2 階の反変テンソルなのだから、左辺も同じ形式のテンソルになるべきだろう。

仮にXij
とでも書いておこう。
Xij=Tij
　ところで「エネルギー運動量テンソル」は次の関係を満たしていた。
∂iTij=0
　これはエネルギー保存、運動量保存の式である。これは平らな時空を前提に導いた式なのだった。リーマン幾何学で学んだように、テンソルをただ微分したものはテンソルではない。ではこの式が時空が曲がっていても使えるようにしてやるにはどうすれば良いかと言うと、すでに良く分かっているだろう。
∇iTij=0
と拡張してやればよい。そうなると左辺のXijを共変微分したものも同じように 0 にならなければいけないはずだ。
∇iXij=0
　そんな性質を持った量Xijがそうそう都合よく見付かるはずが・・・いや、あったよ！！前に出てきたアインシュタイン・テンソルだ。しかしこれをそのまま使ったのでは次元が合わないので、係数kを付けて調整してやることにする。
Gij = k Tij
　これが相対論における「重力場の方程式」すなわち「アインシュタイン方程式」である。何とあっけなく導かれてしまったことか。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/412

414: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/08(日) 20:32:55.38 ID:Fnfn48Mf

http://james.3zoku.com/kojintekina.com/physics/index.html
物理の窓　目次:2009年1月1日
http://james.3zoku.com/kojintekina.com/physics/physics081213.html
一般相対性理論の誕生:物理の窓 2009年1月5日
(抜粋)
3　誰が「場の方程式」を発見したか？
一般相対性理論の核心となる方程式を最初に発見したのは、じつはアインシュタインではなかったと、つい最近まで 信じられていた。ゲッティンゲン大学のダーフィト・ヒルベルトがアインシュタインよりも早く同じ結論に到達していた というのである。
アインシュタインが一般相対性理論の最終論文を書きあげてプロイセン科学アカデミーで発表したのは 1915年11月25日のことで、翌週の12月3日（2日？）には印刷公刊された。
いっぽうヒルベルトの最終論文が公刊されたのは1916年 3月31日のことだったが、論文がゲッティンゲン科学協会に提出されたのは前年の11月20日、つまりアインシュタインの 論文の5日前だった。
両者はともに重力場の方程式をみちびいているが、その先取権は、もちろん5日はやく論文を提出 したヒルベルトにあると、科学史の専門家たちは考えてきた。そればかりではない。二人は研究成果についてたがいに 情報交換をしており、アインシュタインはヒルベルトに、論文を事前に送ってほしいと依頼していた。
つまり アインシュタインは公刊前のヒルベルト論文を見るチャンスがあり、それにもとづいて自身の最終論文を完成させた のではないか、と勘ぐるむきもあったのだ。20世紀を代表する数学者と物理学者をめぐる盗作疑惑である。
1997年、イスラエル、ドイツ、アメリカの研究者チームが包括的な調査を行い、この疑惑に最終的な裁定を下した。 「遅ればせの決着―ヒルベルト=アインシュタインの先取権論争」と題された論文（レオ・コリー他「サイエンス」11月14日号） は、1915年11月に繰り広げられた二人の天才の丁々発止のやりとりを伝えてまことに興味深い。

略

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/414

419: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/08(日) 21:39:44.15 ID:Fnfn48Mf

>>418 関連

http://toyokeizai.net/articles/-/95466?page=2
物理学者は､数学者の肩に乗った小人なのか | 読書 | 東洋経済オンライン |
青木 薫 :翻訳家
2015年12月07日
(抜粋)
物理学者は数学者という巨人の肩の上の小人？

なるほど20世紀を通じて、「物理学者は、すでに死んだ偉大な数学者の発展の中から、使えるものを見て出して使っている。物理学者は、数学者という巨人の 肩の上に乗っている小人だ」的なことは、これでもかというほど繰り返し言われてきた。

けれども、近年、その関係に変化が生じている。

http://toyokeizai.net/articles/-/95466?page=3

とりわけウィッテンを筆頭に、物理学者たちの仕事が、数学者たちにインスピレーションを与えるようになってきたのだ。

http://toyokeizai.net/articles/-/95466?page=4

ニュートンは、ある人物への手紙の中で、自らを浜辺に遊ぶ少年にたとえたのだ。少年は、なめらかな小石やきれいな貝殻を見つけては、ただ喜んでいる－－目の前には、真理の大海原が手付かずのまま広がっているというのに。

目の前には未知の大海がある

そう、物理学者というのは、小石や貝殻を見つけて喜んでいる子どもなのだろう。しかしときに、ニュートンがそうであったように、大海原の存在に気づく者がいる。

いや、ニュートンは、単にそれに気づいただけでなく、立ち上がって海水に足を浸した人物なのだとわたしは思う。そしてウィッテンも、そんな物理学者のひとりなのだろう。

砂浜で貝殻の美しさにみとれて夢中になっていたのは、物理学者か数学者か、目の前の未知の大海に気がついたのは数学者か物理学者か。実は、そうした仕分けをやめるところから、未知の大海があることに気づくことができる･･･それが広い意味でのラングランス・プログラムなのだ、とフレンケルは最終講義で訴えたのではないか。

ラングランズ・プログラムに取り組んでいる数学者、そして物理学者は、今立ち上がり、新たな謎を手がかりとして、大海原に漕ぎ出そうとしているのかもしれない。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/419

421: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/08(日) 23:03:11.87 ID:Fnfn48Mf

>>420

物理からみのフィールズ賞 ２０世紀後半からひらうと、下記か
https://en.wikipedia.org/wiki/Fields_Medal
Fields Medal

Fields medalists
1982 Alain Connes "Contributed to the theory of operator algebras, particularly the general classification and structure theorem of factors of type III, classification of automorphisms of the hyperfinite factor, classification of injective factors, and applications of the theory of C*-algebras to foliations and differential geometry in general."

1986 Simon Donaldson ヤンミルズ方程式"Received medal primarily for his work on topology of four-manifolds, especially for showing that there is a differential structure on euclidian four-space which is different from the usual structure."

1990 Vladimir Drinfeld "For his work on quantum groups and for his work in number theory."
Vaughan F. R. Jones "for his discovery of an unexpected link between the mathematical study of knots ? a field that dates back to the 19th century ? and statistical mechanics, a form of mathematics used to study complex systems with large numbers of components."
Edward Witten "proof in 1981 of the positive energy theorem in general relativity"[57]
つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/421

422: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/08(日) 23:04:03.21 ID:Fnfn48Mf

つづき

1994 Jean Bourgain "Bourgain's work touches on several central topics of mathematical analysis: the geometry of Banach spaces, convexity in high dimensions, harmonic analysis, ergodic theory, and finally, nonlinear partial differential equations from mathematical physics."
Pierre-Louis Lions The only option is therefore to search for some kind of "weak" solution. This undertaking is in effect to figure out how to allow for certain kinds of "physically correct" singularities and how to forbid others.
Jean-Christophe Yoccoz "proving stability properties - dynamic stability, such as that sought for the solar system, or structural stability, meaning persistence under parameter changes of the global properties of the system."

1998 Richard Borcherds "for his work on the introduction of vertex algebras, the proof of the Moonshine conjecture and for his discovery of a new class of automorphic infinite products"
Maxim Kontsevich In 1998, he won the Fields Medal for his "contributions to four problems of Geometry". In July 2012, he was an inaugural awardee of the Fundamental Physics Prize, the creation of physicist and internet entrepreneur, Yuri Milner.[4] https://en.wikipedia.org/wiki/Maxim_Kontsevich
Curtis T. McMullen "He has made important contributions to various branches of the theory of dynamical systems, such as the algorithmic study of polynomial equations, the study of the distribution of the points of a lattice of a Lie group, hyperbolic geometry, holomorphic dynamics and the renormalization of maps of the interval."

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/422

423: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/08(日) 23:04:39.90 ID:Fnfn48Mf

つづき

2006 Grigori Perelman "for his contributions to geometry and his revolutionary insights into the analytical and geometric structure of the Ricci flow"
Wendelin Werner "for his contributions to the development of stochastic Loewner evolution, the geometry of two-dimensional Brownian motion, and conformal field theory"

2010 Stanislav Smirnov "For the proof of conformal invariance of percolation and the planar Ising model in statistical physics"
Cedric Villani "For his proofs of nonlinear Landau damping and convergence to equilibrium for the Boltzmann equation."

2014 Artur Avila "for his profound contributions to dynamical systems theory, which have changed the face of the field, using the powerful idea of renormalization as a unifying principle."
Maryam Mirzakhani "for her outstanding contributions to the dynamics and geometry of Riemann surfaces and their moduli spaces."

おわり

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/423

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