現代数学の系譜11 ガロア理論を読む27 [無断転載禁止]©2ch.net

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466: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/14(土) 13:18:17.52 ID:co7dEEx8

つづき
　でも、のちのちに、このときのぼくの認識は大間違いだったことがわかったのだ。当時のぼくがいけなかったのは、「数学を、目の前にある本や、講義のノートの、そのままの字面から理解しようとする」ことから一歩も外に出ようとしなかったことだった
ぼくは、「数学を理解する」という行為を限定的に閉じ込めてしまい、もっと広い外界にアクセスしなかったことが災いしたと気付くことになった
数学を(いや、どんな学問でもそれを)理解する、という行為は、人生を総動員して行うべきものであり、そうしさえすれば、(それへの愛と欲求がある限り)理解は不可能なことでもそんなに難しいことでもない、ということだとわかったのだ

実際、経済学者となってからのぼくには、数学を理解するための作業が、数学科の学生だった頃と大きく違うものとなった。例えば、数学的なアイテムを理解しようとするとき、専門書に書いてあることをそのまま受け入れようとする努力を捨てるようになった
それが抽象的すぎて、とても自分の感覚ではついていけないと感じたときは、そこに書いてあることを自分によくわかる別の言葉や記号に置き換えていく作業をすることにした

具体例を挙げるなら、それは本書『数学は世界をこう見る　数と空間への現代的なアプローチ』のホモロジー群の説明に表れている。ホモロジー群というのは、チェインと呼ばれる幾何的対象の集合を高次元から低次元に並べて、その順番に沿って、境界作用素と呼ばれる写像を作る
そして、そのk番目の写像の像を(k+1)番目の写像の逆像で割って、剰余類を作る。その群がホモロジー群と呼ばれるものである。この定義は、何回読んでも、何をしているのかさっぱりわからなかった
だから、いったん、そういう抽象的な定義を鵜呑みにするのは諦めて、低次元で、それがどんな作業をしているのかを自分の言葉で理解してみようと試みた。最初に0次元で、次に1次元で。そしたら、だんだんと、それが意味していることがわかってきた
「要するに、これって、単なる中学1年生の文字式の同類項計算に毛が生えたものじゃん」という悟りに達したのである。こういう「自分の言葉での理解」を得たあとに、もう一度、一般的な定義に立ち返ってみると、チェインの集合間の境界作用素から剰余類を構成する手続きは、実にすっきりしていて、みごとな整合性を持っていることが実感できた

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/466

475: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/14(土) 13:45:12.24 ID:co7dEEx8

つづき
この記事へのコメント
お久し振りです。
僕自身は、リーマン面の理論(複素関数論)で、正則関数の層(つまり、正則関数の芽(germ)を解析接続していってできたもの)を最初に学んだので、あまり抵抗なかった記憶があります。解説接続をモダーンに表現したものですよね。
余計なおせっかいですが、(多変数の)複素関数論とかを先にやられると、イメージが掴みやすいかも、です。
もっともジーゲル大先生は、お気に召さないらしく、(例の3巻本の)序文で「その後一般的になった、抽象的な用語は、ここでは用いない」と宣言されてますが(笑)。
2006年04月04日 20:06

◇sukarabeさん
アドバイスありがとうございます。
多変数関数論は、岡の嫌う記述形式だと思うのですが、でも愚人の私には、これがよさげです。不定域イデアルでは、いまいちよく解りません。

層は、正則関数　と　その解析接続　が一つのイメージなのでしょうけど、もっと、包括的な捕らえ方が出来ていなかったのです。
・茎と芽のイメージ
・関数概念の拡張の意味
・Hyperfunctionの記述言語としての存在（代数解析学、Ｄ加群を含む）
・スキームとの関連（代数幾何学の記述言語）
・ファイバー束との関連
・層係数のコホモロジー
などなど。でも、ふと、ある部分だけですが、”見えてきた”のです。
まだ、あやふやなイメージなので、もっと強固に、具体例をふんだんにするために、今年戦います。
2006年04月04日 23:09

不定域イデアルの概念は正に層そのものと言えるのではないでしょうか。岡潔さんが嫌うのは、自分が考え出したものに別の名前を付けられ、別の定式化がされ、ある意味、盗まれたと感じられたのでは、と思ったりもします。正則関数の層が連接層になるというのは、言葉は違えども、岡潔さんが発見し、証明されたことですし。
2006年04月04日 23:35

◇sukarabeさん
換骨奪胎（かんこつだったい）という言葉がぴったりなのでは、と思います。

でも、理論の創始者の意図とは別の発展をたどるのは、どの理論も同じでしょうね。

脆弱、連接　なんて、よくも悪くも現代数学の威力を感じさせます。
ひとたび概念と記述が確立すると、他の多くの分野に適用される。

そんなことを思います。
2006年04月04日 23:54
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/475

479: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/14(土) 14:03:11.22 ID:co7dEEx8

>>477 追加引用

[問題(***)] まず、X という空間上の層達の間に層の意味で何らかの関係があ
る状況を考えよ。(例えば、(19)のような層の short exact sequence がある
とせよ。層は局所的な情報も含んでいるので、層としての関係は局所的なもの
だと考える。) 層の関係から、大域的切断の空間 Ｆ(X) の間にどのような関
係が得られるか？大域的な切断の空間 Ｆ(X) のみを考えると、層 Ｆ 自身の
情報は失われるであろう。それを補完するものは何か？

これの一つの答が、H^0(X,Ｆ) = Ｆ(X) から始まる H^1, H^2, ... という層
のコホモロジーの理論なのです。

まあ、いろいろな見方があると思いますが、これは次のようにもっと一般化で
きる形で考えることができます。まず、X から一点のみからなる空間 pt={p}
への唯一の写像 f を考えます:

(23) f : X → pt, f(x) = p.

pt には位相空間の構造が一意的に入ります。(pt の空でない開集合は pt 自
身だけ。) pt 上の層は唯一の集合(もしくは加群やベクトル空間)を決めれば
決定されるので、pt 上の層と単なる集合(もしくは加群やベクトル空間)は同
一視することができます。

X 上の加群もしくはベクトル空間の層Ｆを与えたとき、f を通して「ＦのX上
での積分」が pt 上の加群もしくはベクトル空間層として定義できるとうれし
いでしょう。その一つの答は

(24) (ＦのX上での積分) = H^0(X,Ｆ) = Ｆ(X)

と定義することです。しかし、これではＦの情報が落ち過ぎてしまいます。そ
こで、

(25) (ＦのX上での積分) = (H^0(X,Ｆ), H^1(X,Ｆ), H^2(X,Ｆ),...)

と考えることによって、ある程度満足な理論を展開することができます。

略

局所と大域の関係の研究から始まった層の理論は、このように、「層と層の間
の写像や空間と空間の間の写像を考え、それらの間にどのような関係が付けら
れるか？」というより徹底したアイデアのもとで一般論が得られています。
(categoryとfunctorの発想。) この道具は特に代数幾何という分野では無くて
はならないものとなっています。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/479

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